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章末质量检测卷(三) 概 率(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4℃时结冰．A．1 B．2C．3D．4解析：选C ①张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件；②抽到的学生有可能是李凯，也有可能不是，所以为随机事件；③有可能抽到1号签也有可能抽不到，所以为随机事件；④标准大气压下，水在4℃时不会结冰，所以是不可能事件，不是随机事件．故选C.2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.B．C.D．解析：选B 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.3．某班有50名学生，其中男、女各25名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大( )
A．异性B．同性C．同样大D．无法确定解析：选A 记“甲碰到同性同学”为事件A，“甲碰到异性同学”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，故P(A)＜P(B)，即学生甲碰到异性同学的概率大．故选A.4．设a∈[0,10)且a≠1，则函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上为增函数且g(x)＝在(0，＋∞)上也为增函数的概率为( )A.B．C.D．解析：选B 由题目条件，知a的所有可能取值为a∈[0,10)且a≠1.因为函数f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都为增函数，所以所以1＜a＜2，所以由几何概型的概率公式，知P＝＝.5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15解析：选B 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191,271,932,812,393，共5组随机数，故所求概率为＝＝0.25.B选项正确．6．12本相同的书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是( )
A．3本都是语文书B．至少有一本是英语书C．3本都是英语书D．至少有一本是语文书解析：选D 由于只有2本英语书，从中任意抽取3本，其中至少有一本是语文书．故选D.7．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( )A.B．C.D．解析：选D 4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝.故选D.8．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )A.B．C.D．解析：选B 可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41,42,43,45共4种；以5开头的：51,52,53,54，共4种，所以P＝＝.9．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )A．P(A)＞P(B)B．P(A)＜P(B)C．P(A)＝P(B)D．P(A)、P(B)大小不确定解析：选C 横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．故选C.
10．已知P是△ABC的重心，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内有概率是( )A.B．C.D．解析：选B 如图所示，P是△ABC的重心，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是：P＝＝.11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率是( )A.B．C.D．解析：选B 本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的情况，可以用列表法，使x2＋y2＞25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即＝.6374045526172526293441506141720253241523101318253445258132029401251017263712345612.如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.B．C.D．解析：选A 可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4＝16(种)，而总的情况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得P＝＝.故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知半径为a的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．解析：因为球半径为a，则正方体的对角线长为2a，设正方体的边长为x，则2a＝x，∴x＝，由几何概型知，所求的概率P＝＝＝.答案：14．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．解析：如图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.答案：
15．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．解析：记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦．当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.答案：16．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．解析：由题意可知＞，如图所示，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，因此＝＝＞(PM，BN为其高线)．又＝，故＞，故所求概率为(长度之比)．答案：
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．解：a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a2≥4b”的概率为P＝.18．(本小题满分12分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．解：设A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件．则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1，设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，其中A，B，C是互斥事件，∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.19.(本小题满分12分)如图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上任取一点B，求使△AOB的面积大于等于的概率．解：因为OA＝1，S△AOB≥，所以×1×1×sin∠AOB≥⇒sin∠AOB≥，所以≤∠AOB≤，所以S△AOB≥的概率为＝.
20．(本小题满分12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．解：(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.(3)游戏公平．甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P1＝，同理乙胜的概率P2＝.因为P1＝P2，所以此游戏公平．21．(本小题满分12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝＝.(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1和C1全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3个基本事件组成，所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P()＝1－＝.22．(本小题满分12分)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．解：(1)由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A，若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，∴P(A)＝＝，故直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为.(2)设“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B，若直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点，则必须满足≤1，即b2≤a2＋1.若a＝－2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值；若a＝－1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；若a＝1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；若a＝2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值．∴满足条件的实数对(a，b)共有12种不同取值，
∴P(B)＝＝，故直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为.
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