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章末质量检测卷(三) 概 率(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列事件中,随机事件的个数为(  )①在学校明年召开的田径运动会上,学生张涛获得100米短跑冠军;②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯;③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;④在标准大气压下,水在4℃时结冰.A.1           B.2C.3D.4解析:选C ①张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生,所以为随机事件;②抽到的学生有可能是李凯,也有可能不是,所以为随机事件;③有可能抽到1号签也有可能抽不到,所以为随机事件;④标准大气压下,水在4℃时不会结冰,所以是不可能事件,不是随机事件.故选C.2.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意抛掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(  )A.B.C.D.解析:选B 如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为.3.某班有50名学生,其中男、女各25名,若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学,假定每两名学生碰面的概率相等,那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大(  ) A.异性B.同性C.同样大D.无法确定解析:选A 记“甲碰到同性同学”为事件A,“甲碰到异性同学”为事件B,则P(A)=,P(B)=,故P(A)<P(B),即学生甲碰到异性同学的概率大.故选A.4.设a∈[0,10)且a≠1,则函数f(x)=logax在(0,+∞)上为增函数且g(x)=在(0,+∞)上也为增函数的概率为(  )A.B.C.D.解析:选B 由题目条件,知a的所有可能取值为a∈[0,10)且a≠1.因为函数f(x),g(x)在(0,+∞)上都为增函数,所以所以1<a<2,所以由几何概型的概率公式,知P==.5.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(  )A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15解析:选B 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有:191,271,932,812,393,共5组随机数,故所求概率为==0.25.B选项正确.6.12本相同的书中,有10本语文书,2本英语书,从中任意抽取3本的必然事件是(  ) A.3本都是语文书B.至少有一本是英语书C.3本都是英语书D.至少有一本是语文书解析:选D 由于只有2本英语书,从中任意抽取3本,其中至少有一本是语文书.故选D.7.某人射击4枪,命中3枪,3枪中有且只有2枪连中的概率是(  )A.B.C.D.解析:选D 4枪命中3枪共有4种可能,其中有且只有2枪连中有2种可能,所以P==.故选D.8.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为(  )A.B.C.D.解析:选B 可能构成的两位数的总数为5×4=20(种),因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54,共4种,所以P==.9.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,则事件A={点落在x轴上}与事件B={点落在y轴上}的概率关系为(  )A.P(A)>P(B)B.P(A)<P(B)C.P(A)=P(B)D.P(A)、P(B)大小不确定解析:选C 横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的.故选C. 10.已知P是△ABC的重心,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内有概率是(  )A.B.C.D.解析:选B 如图所示,P是△ABC的重心,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是:P==.11.若以连续两次掷骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标(m,n),则点P在圆x2+y2=25外的概率是(  )A.B.C.D.解析:选B 本题中涉及两个变量的平方和,类似于两个变量的和或积的情况,可以用列表法,使x2+y2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果.即=.6374045526172526293441506141720253241523101318253445258132029401251017263712345612.如图所示,两个圆盘都是六等分,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(  ) A.B.C.D.解析:选A 可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4=16(种),而总的情况有6×6=36(种),于是由古典概型概率公式,得P==.故选A.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知半径为a的球内有一内接正方体,若球内任取一点,则该点在正方体内的概率为________.解析:因为球半径为a,则正方体的对角线长为2a,设正方体的边长为x,则2a=x,∴x=,由几何概型知,所求的概率P===.答案:14.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为________.解析:如图所示,区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P==.答案: 15.在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________.解析:记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A,如图所示,不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦.当弦为CD时,就是等边三角形的边长,弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF,由几何概型的概率公式得P(A)==.答案:16.在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S-APC的体积大于的概率是________.解析:由题意可知>,如图所示,三棱锥S-ABC与三棱锥S-APC的高相同,因此==>(PM,BN为其高线).又=,故>,故所求概率为(长度之比).答案: 三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=-x2+ax-b.若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率.解:a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=5×5=25个.函数有零点的条件为Δ=a2-4b≥0,即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.所以事件“a2≥4b”的概率为P=.18.(本小题满分12分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.解:设A,B,C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件.则P(A)=0.025,P(B)=P(C)=0.1,设D表示军火库爆炸这个事件,则有D=A∪B∪C,其中A,B,C是互斥事件,∴P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.19.(本小题满分12分)如图所示,OA=1,在以O为圆心,OA为半径的半圆弧上任取一点B,求使△AOB的面积大于等于的概率.解:因为OA=1,S△AOB≥,所以×1×1×sin∠AOB≥⇒sin∠AOB≥,所以≤∠AOB≤,所以S△AOB≥的概率为=. 20.(本小题满分12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.(1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况;(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少?(3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.解:(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示,其他用相应的数字表示)为(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4),共12种不同情况.(2)甲抽到红桃3,乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.(3)游戏公平.甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),共5种,故甲胜的概率P1=,同理乙胜的概率P2=.因为P1=P2,所以此游戏公平.21.(本小题满分12分)现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.(1)求A1被选中的概率;(2)求B1和C1不全被选中的概率.解:(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件为(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2),共18个基本事件.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“A1恰被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}, 事件M由6个基本事件组成,因而P(M)==.(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件,则其对立事件表示“B1和C1全被选中”这一事件,由于={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件由3个基本事件组成,所以P()==,由对立事件的概率公式得:P(N)=1-P()=1-=.22.(本小题满分12分)已知实数a,b∈{-2,-1,1,2}.(1)求直线y=ax+b不经过第四象限的概率;(2)求直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率.解:(1)由于实数对(a,b)的所有取值为:(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),共16种.设“直线y=ax+b不经过第四象限”为事件A,若直线y=ax+b不经过第四象限,则必须满足即满足条件的实数对(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,∴P(A)==,故直线y=ax+b不经过第四象限的概率为.(2)设“直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点”为事件B,若直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点,则必须满足≤1,即b2≤a2+1.若a=-2,则b=-2,-1,1,2符合要求,此时实数对(a,b)有4种不同取值;若a=-1,则b=-1,1符合要求,此时实数对(a,b)有2种不同取值;若a=1,则b=-1,1符合要求,此时实数对(a,b)有2种不同取值;若a=2,则b=-2,-1,1,2符合要求,此时实数对(a,b)有4种不同取值.∴满足条件的实数对(a,b)共有12种不同取值, ∴P(B)==,故直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率为. 查看更多

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