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第一章 1.3 算法案例课时分层训练1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是( )A．5,150 B．15,450C．450,15D．15,150解析：选B 利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3,45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.2．把67(10)化为二进制数为( )A．1100001(2)B．1000011(2)C．110000(2)D．1000111(2)解析：选B所以把67(10)化为二进制数为1000011(2)．3．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计算符号与十进制的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如用十六进制表示D＋E＝1B，则(2×F＋1)×4＝( )A．6EB．7CC．5FD．B0解析：选B (2×F＋1)×4用十进制可以表示为(2×15＋1)×4＝124，而124＝16×7＋12，所以用十六进制表示为7C，故选B.4．下列各组数中最小的数是( )
A．1111(2)B．210(6)C．1000(4)D．101(8)解析：选A 统一化为十进制数为1111(2)＝15；210(6)＝78；1000(4)＝64；101(8)＝65.5．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于( )A．7或4B．－7C．4D．都不对解析：选C 因为132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，所以k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．6．三个数72,120,168的最大公约数是________．解析：由更相减损术，得168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24,48－24＝24，故120和168的最大公约数是24，而72－24＝48,48－24＝24，故72和24的最大公约数也是24，所以72,120,168的最大公约数是24.答案：247．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝________.解析：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.当x＝10时，f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756.答案：7568．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．解析：将三个数都化为十进制数，12(16)＝1×16＋2＝18,25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，所以33(4)＜12(16)＜25(7)．答案：33(4)＜12(16)＜25(7)9．已知函数f(x)＝x3－3x2－4x＋5试用秦九韶算法求f(2)的值．
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－3x2－4x＋5＝(x2－3x－4)x＋5＝((x－3)x－4)x＋5，把x＝2代入函数式得f(2)＝((2－3)×2－4)×2＋5＝－7.10．用辗转相除法求228,1995两个数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．解：1995＝8×228＋171；228＝1×171＋57；171＝3×57，所以57就是228和1995的最大公约数．验证：1995－228＝1767,1767－228＝1539,1539－228＝1311,1311－228＝1083,1083－228＝855,855－228＝627,627－228＝399,399－228＝171,228－171＝57,171－57＝114,114－57＝57，所以228与1995的最大公约数是57.1．用更相减损术求225与30的最大公约数时，需要做减法运算的次数是( )A．9 B．8C．7D．6解析：选B 225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15，30－15＝15，故225与30的最大公约数是15，需要做8次减法运算．2．m是一个正整数，对于两个正整数a，b，如果a－b是m的倍数，则称a，b对模m同余，用符号a≡b(Modm)表示，则下列各式中不正确的为( )A．12≡7(Mod5)B．21≡10(Mod3)C．34≡20(Mod2)D．47≡7(Mod40)解析：选B 对于A,12－7＝5是5的倍数；对于B,21－10＝11不是3的倍数；对于C,34－20＝14是2的倍数；对于D,47－7＝40是40的倍数，故选B.3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4时的值时，v4的值为( )A．－57B．220C．－845D．3392解析：选B 由秦九韶算法，得
v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝－57×(－4)－8＝220.4．运行下面的程序，当输入的数据为78,36时，输出的结果为( )A．24B．18C．12D．6解析：选D 由程序语句，知此程序是用更相减损术求输入的两个不同正整数的最大公约数．因为78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30,30－6＝24,24－6＝18,18－6＝12,12－6＝6，所以78和36的最大公约数为6，所以输出的结果为6，故选D.5．如图是用辗转相除法求两个正整数a，b(a＞b)的最大公约数的程序框图，其中①处应填入的是________．解析：根据辗转相除法的原理，易知①处应填入的是r＝aMODb． 答案：r＝aMODb
6．若二进制数100y011(2)(y＝0或1)和八进制数x03(8)(1≤x≤7，x∈N)相等，则x＋y的值为________．解析：∵100y011(2)＝1×26＋y×23＋1×21＋1＝67＋8y，x03(8)＝x×82＋3＝64x＋3，∴8y＋67＝64x＋3，y可取0或1，x可取1,2,3,4,5,6,7，当y＝0时，x＝1；当y＝1时，64x＋3＝75，x＝，不符合题意．∴x＋y＝1.答案：17．甲、乙、丙三种溶液的质量分别为147g,343g,133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，且每个小瓶装入溶液的质量相同，则每瓶最多装________溶液．解析：由题意知每个小瓶装的溶液的质量应是这三种溶液质量的最大公约数．先求147和343的最大公约数，由更相减损术的计算原理得343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98，98－49＝49，∴147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.∴每瓶最多装7g溶液．答案：7g8．已知n次多项式Pn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0(ak≠0，k＝0,1，…，n)，x0为任意实数．(1)在平常的算法中，计算x(k＝2,3，…，n)的值需要进行(k－1)次运算，计算P3(x0)＝a3x3＋a2x2＋a1x＋a0的值共需要进行9次运算(6次乘法、3次加法)，那么计算Pn(x0)的值需要进行多少次运算？(2)若用秦九韶算法计算Pn(x0)的值，则需要进行多少次运算？
解：(1)加法运算次数为n，乘法运算次数为1＋2＋3＋…＋n＝，所以共需n＋＝(次)．(2)加法运算次数为n次，乘法也为n次，共需2n次．
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