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高中数学人教A版必修二（同步练习）第四章4.2.1 直线与圆的位置关系

2022-11-10
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第四章 4．2 直线、圆的位置关系4．2．1 直线与圆的位置关系课时分层训练1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )A．相交且直线过圆心B．相交但直线不过圆心C．相切D．相离解析：选D 圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )A. B.C．1D．5解析：选A 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝.3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9解析：选D 圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )A．0或4B．0或3C．－2或6D．－1或解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )A.B．1C.D.解析：选D 圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则2＋d2＝r2，即l＝2＝.6．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝.解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以2＋12＝22，解得a＝4±.答案：4±7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为．解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝28．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y＋4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是．解析：由题知，直线x－y＋1＝0过圆心，即－＋1＋1＝0，∴k＝4.∴r＝＝1.答案：19．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程．解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.又因为直线y＝x截圆得弦长为2，则有2＋()2＝9b2，解得b＝±1，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．∴a＋2b＝0，①且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，∴r2－d2＝r2－2＝()2.③解由方程①②③组成的方程组，得或 ∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(x＋7)2＝244.1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．无法确定，与m的取值有关解析：选A 圆心到直线的距离d＝＝＜1＝r，故选A.2．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为( )A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0D．x＋y－3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.3．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选C 由题意得查看更多

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