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人教版数学八年级上册专项培优练习六《等腰三角形的性质与判定》一、选择题1.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55° B.70°，40°或70°，55°C.70°，40° D.55°，55°或70°，40°2.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )A.∠EBC=∠BACB.∠EBC=∠ABEC.AE=ECD.AE=BE3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则其顶角为()A.45°B.135°C.45°或67.5°D.45°或135°4.如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为()A.12B.4C.8D.不确定5.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为()A.48°B.36°C.30°D.24°
6.如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是()7.在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0，2)，若点C在第一象限内，CO=CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为( )A.1B.2C.3D.48.如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是( )A.70° B.110° C.140° D.150°9.如图,△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P,则△PBC面积为()A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm210.在平面直角坐标系中，已知点A(2，﹣2)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图，已知AD为△ABC的高，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，EF∥AD，交AC于F，连ED，EC，
有以下结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥AB；③BD=2EF；④S△BDE=S△ACE其中正确的是( )A.①②③B.②④C.①③D.①③④12.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CPF.其中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题13.如图，△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，则∠C= .14.一等腰三角形，一边长为9cm,另一边长为5cm,则等腰三角形的周长是 .15.如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1=30°，则∠2= .16.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 .17.在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b(如图1).
求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b.小姗的作法如下：如图2，(1)作线段BC=a；(2)作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；(3)在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC.所以，△ABC就是所求作的等腰三角形.老师说：“小姗的作法正确”.请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是： .18.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是.三、解答题19.在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长.20.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点(保留作图痕迹，不写作法)(2)若∠C=30°，求证：DC=DB.21.在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)的条件下，∠BDC= .22.如图，△ABC中，AB=AD=DC，设∠BAD=x，∠C=y，试求y与x的关系式.23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥
BE.(1)求∠DBE的大小；(2)求证：AD=2BE.24.直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F.(1)如果∠AFE=65°，求∠CDF的度数；(2)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形.
25.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.(1)求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE.(2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明.
参考答案1.D2.A3.D4.C5.A6.B7.D8.D9.B10.D11.D12.D13.答案为：20°.14.答案为：23cm或19cm15.答案为：75°.16.答案为：120°或75°或30°.17.答案为：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形.18.答案为：12°.19.解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE=AB=2.5.20.解：(1)射线BD即为所求；(2)∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABC=30°，∴∠C=∠CBD=30°，∴DC=DB.21.解：(1)如图所示，BD即为所求；(2)∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣140°=40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC=×70°=35°，∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=40°+35°=75°，故答案为：75°.
22.解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C=y，得∠ADB=∠DAC+∠C=2y，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=2y，在△ABD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180°，∴x+2y+2y=180°，即y=－x+45°，即y与x的关系式是y=－x+45°.23.解：(1)∵∠C=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAC=22.5°，∵AE⊥BE，∴∠BED=90°，∴∠ACD=∠BED=90°，∵∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠CAD=22.5°.(2)延长AC、BE交于点G.∵AE⊥BG，∴∠AEB=∠AEG=90°，在△AEB和△AEG中，，∴△AEB≌△AEG，∴BE=EG，在△ACD和△BCG中，
，∴△ACD≌△BCG，∴AD=BG=2BE，∴AD=2BE.24.解：(1)根据翻折不变性可知：∠AFE=∠DFE=65°，∴∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，∵∠C=90°，∴∠CDF=90°﹣50°=40°.(2)∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，∴CF=CD，∴∠CFD=∠CDF=45°，设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，分类如下：①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，解得：x=22.5°.此时∠B=2x=45°；见图形(1)，说明：图中AD应平分∠CAB.②当BD=BE时，则∠B=(180°﹣4x)°，由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°﹣4x，解得x=37.5°，此时∠B=(180﹣4x)°=30°.图形(2)说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°.③DE=BE时，则∠B=(90-x)°，由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+90-x，此方程无解.∴DE=BE不成立.综上所述∠B=45°或30°.
25.解：(1)①∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，又∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；(2)∠BDC=∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，∴∠BDC=∠BAC.
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