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人教版数学八年级上册专项培优练习十三《几何综合题》1.已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN.(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；(2)在(1)的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系________；(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积.2.如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.(1)直接写出∠AFC的度数：；(2)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(3)如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.
3.如图1，已知在△ABC中，∠A是锐角，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，且∠DBC=∠ECB=∠A.(1)写出图1中与∠A相等的角，并加以证明：(2)判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由.小刚通过观察度量，找到了∠A相等的角，并利用三角形外角的性质证明了结论的正确性；他又利用全等三角形的知识，得到了BE=CD.小刚继续思考，提出新问题：如果AB≠AC，其他条件不变，那么上述结论是否仍然成立？小刚画出图2，通过分析得到猜想：当AB≠AC时，上述结论仍然成立，小组同学又通过讨论，形成了证明第(2)问结论的几种想法：想法1：在OE上取一点F，使得OF=OD，故△OBF≌△OCD，欲证BE=CD，即证BE=BF.想法2：在OD的延长线上取一点M，使得OM=OE，故△OBE≌△OCM，欲证BE=CD，即证CD=CM.想法3：分别过点B，C作OE和OD的垂线段BP，CQ，可得△OBP≌△OCQ，欲证BE=CD，即证△BEP≌△CDQ.……请你参考上面的材料，解决下列问题：(1)直接写出图2中与∠A相等的一个角；(2)请你在图2中，帮助小刚证明BE=CD.(一种方法即可)
4.如图，已知A(﹣2，0)，B(0，﹣4)，C(1，1)，点P为线段OB上一动点(不包括点O)，CD⊥CP交x轴于点D，当P点运动时：(1)求证：∠CPO=∠CDO；(2)求证：CP=CD；(3)下列两个结论：①AD﹣BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值.5.如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF.(1)若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为 ，BO与AD的位置关系为 ；(2)若两个三角形按图3方式放置，其中C、B(D)、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM.探究线段FM与CM之间的关系，并证明；(3)若两个三角形按图4方式放置，其中B、C(D)、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK=EK.
6.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.A、B两点的坐标分别为A(m，0)、B(0，n)，且|m−n−3|+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒.(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.7.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；(2)在(1)的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，试问在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
8.如图1，已知在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，连接AO，(1)①指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明；②若AB=6，AC=5，则△ADE的周长为；(2)若AO⊥DE，求证：△ABC为等腰三角形；(3)若OD=OE，△ABC是否仍为等腰三角形?请证明你的结论.9.在平面直角坐标系中，已知点A(8，0)，B(0，﹣8)，连接AB.(1)如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；(2)如图②，在(1)的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB；(3)如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由.
10.如图，在平面直角坐标系中，已知两点A(m，0)，B(0，n)(n＞m＞0)，点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N.(1)点C的坐标为： (用含m，n的式子表示)；(2)求证：BM=BN；(3)设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称.11.已知△ABC中，∠ACB=90°，(1)如图1，点B与点D关于直线AC对称，连AD，点E、F分别是线段CD、AB上的点(点E不与点D、C重合)，且∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠CAE.求证：BF=DE.(2)如图2：若AC=BC，BD⊥AD，连DC，求证：∠ADC=45°
12.如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°.(1)求证：OB=DC；(2)求∠DCO的大小；(3)设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形.
参考答案1.解：(1)如图1，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，PM=PN，PB=PC，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，∴BM=CN(2)AM+AN=2AC(3)解：如图2，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，PM=PN，PB=PC，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，∴BM=CN，∴S△PBM=S△PCN∵AC：PC=2：1，PC=4，∴AC=8，∴由(2)可得，AB=AC=8，PB=PC=4，∴S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB=AC•PC+AB•PB=×8×4+×8×4=322.解：(1)∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=15°，∠FCA=45°，∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠ACF)=120°(2)解：FE与FD之间的数量关系为：DF=EF.
理由：如图2，在AC上截取CG=CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF=∠GCF，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD(SAS)，∴DF=GF.∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°﹣∠B)=60°，∴∠AFC=120°，∴∠CFD=60°=∠CFG，∴∠AFG=60°，又∵∠AFE=∠CFD=60°，∴∠AFE=∠AFG，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE(ASA)，∴EF=GF，∴DF=EF；(3)结论：AC=AE+CD.理由：如图3，在AC上截取AG=AE，
同(2)可得，△EAF≌△GAF(SAS)，∴∠EFA=∠GFA.又由题可知，∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°﹣∠B)=60°，∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°，∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC，∴∠CFG=∠CFD=60°，同(2)可得，△FDC≌△FGC(ASA)，∴CD=CG，∴AC=AG+CG=AE+CD.3.解：(1)与∠A相等是∠BOE或∠COD；(2)如图2，在OE上取一点F，使得OF=OD，∵∠DBC=∠ECB=∠A，∴OB=OC，∵∠BOE=∠COD，∴△OBF≌△OCD(SAS).∴BF=CD，∠OBF=∠OCD.
∵∠BFE=∠ECB+∠CBF=∠ECB+∠DBC+∠OBF=∠A+∠A+∠OBF=∠A+∠OBF，∵∠BEC=∠A+∠OCD=∠A+∠OBF，∴∠BFE=∠BEC.∴BE=BF.∴BE=CD.4.(1)证明：∵x轴⊥y轴，CP⊥CD，∴∠DCP=∠DOP=90°，∴∠CPO+∠OKP=∠CDO+∠CKD=90°，∵∠OKP=∠CKD，∴∠CPO=∠CDO；(2)证明：过C作CN⊥x轴于N，CQ⊥y轴于Q，则∠CND=∠CQP=90°，∵C(1，1)，∴CQ=CN，在△CND和△CQP中，，∴△CND≌△CQP(AAS)，∴CP=CD；(3)解：AD+BP的值不变，∵A(﹣2，0)，B(0，﹣4)，C(1，1)，∴AN=2+1=3，BQ=4+1=5，∵△CND≌△CQP，∴QP=ND，
∵AD+BP=AN+ND+BP=AN+QP+BP=AN+QB=3+5=8，∴AD+BP的值不变，是8.5.解：(1)如图2中，∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，∴AB=BD，BC=BF，∴AF=CD，∵∠AFO=∠DCO=90°，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC(AAS)，∴OA=OC，∵BA=BD，∴BO垂直平分线段AD.∴BO⊥AD，故答案为：AF=CD，BO⊥AD.(2)结论：FM=MC，FM⊥CM.理由：如图3中，延长FM交CA的延长线于H.∵∠ACB+∠EFC=180°，B，F，C共线，∴EF∥CH，∴∠EFM=∠H，∵EM=MA，∠EMF=∠AMH，∴△EFM≌△AHM(AAS)，∴FM=MH，EF=AH，∵∠FCH=90°，
∴CM=FM=MH，即FM=MC，∵△Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，∴BF=AC，EF=BC，∴BA=AH，∴FC=CH，∵FM=MH，∴CM⊥FM.(3)如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ=BH.∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，∴BC=EF，AC=CF，∵CH=AH，CG=GF，∴CH=FG，∵∠BCH=∠F=90°，∴△BCH≌△EFG(SAS)，∴∠CBH=∠FEG，∵CH=CG，∠GCH=90°，∴∠CGH=∠CHG=45°，∴∠BHG=180°﹣45°﹣∠GBH=135°﹣∠GBH，∵∠CGE=∠CGH+∠HGE=90°+∠GEF，∴∠HGE=45°+∠GEF，∴∠HGE+∠BHG=180°，∵∠BJK+∠BJH=180°，∠BJH=∠BHJ，∴∠BJK=∠HGE，∵GE=BH=BJ，∠BKJ=∠GKE，
∴△BKJ≌△EKG(AAS)，∴BJ=GE.6.解：(1)∵由题意可知，∴m-n-3=0，2n-6=0，解得：n=3，m=6，∴OA=6，OB=3；(2)分为两种情况：①当P在线段OA上时，AP=t，PO=6-t，∴△BOP的面积S=×(6-t)×3=9-t，∵若△POB的面积不大于3且不等于0，∴0＜9-t≤3，解得：4≤t＜6；②当P在线段OA的延长线上时，如图，AP=t，PO=t-6，∴△BOP的面积S=×(t-6)×3=t-9，∵若△POB的面积不大于3且不等于0，∴0＜t-9≤3，解得：6＜t≤8；即t的范围是4≤t≤8且t≠6；(3)分为两种情况：①当OP=OA=6时，E应和B重合，但是此时PE和AB又不垂直，即此种情况不存在；②当OP=OB=3时，分为两种情况(如图)：第一个图中t=3，第二个图中AP=6+3=9，即t=9；即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9.
7.解：(1)如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°.∴∠BAC=30°.∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，∴∠DAC=0.5∠BAC=15°，∠ECA=0.5∠ACB=45°.∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.(2)FE=FD.如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAF=∠GAF，在△EAF和△GAF中∵∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°.∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°.又∵∠DFC=∠EFA=60°，∴∠DFC=∠GFC.在△FDC和△FGC中
∵∴△FDC≌△FGC(ASA)，∴FD=FG.∴FE=FD.(3)(2)中的结论FE=FD仍然成立.同(2)可得△EAF≌△HAF，∴FE=FH，∠EFA=∠HFA.又由(1)知∠FAC=0.5∠BAC，∠FCA=0.5∠ACB，∴∠FAC+∠FCA=0.5(∠BAC+∠ACB)=0.5=60°.∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°.∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°.同(2)可得△FDC≌△FHC，∴FD=FH.∴FE=FD.8.解：(1)①图中△BDO和△CEO为等腰三角形，∵OB平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，∴△ODB为等腰三角形，同理△OEC为等腰三角形；②11；(2)∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OA平分∠BAC，∴∠DAO=∠EAO，又OA⊥DE，∴∠AOD=90°=∠AOE，∴∠AOD=∠AOE，
∴AD=AE，∴OD=OE，又DB=OD，EC=OE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形.(3)△ABC仍为等腰三角形.过点O作OG⊥AD于G点，OH⊥AE于H点，∵OA平分∠BAC，∴OG=OH，∠DAO=∠EAO，∴AG=AH，又∵OD=OE，∴Rt△OGD≌Rt△OHE，∴DG=EH，∴AD=AE，又OB=OD，OC=OE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形.9.(1)证明：如图①中，∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90°∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，∴∠HAC=∠OBC.
在△OAP与△OBC中，，∴△OAP≌△OBC(ASA)，(2)过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②.在四边形OMHN中，∠MON=360°﹣3×90°=90°，∴∠COM=∠PON=90°﹣∠MOP.在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON(AAS)，∴OM=ON.∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠CHA=45°，∵∠AHB=90°，∴2∠OHP=∠AHB.(3)结论：当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO=AF.当点G在线段OB上时，OB=BG+AF.当点G在线段OB的延长线上时，AF=OB+BG.当点G在y轴的正半轴上时，理由如下：连接OE，如图3.
∵∠AOB=90°，OA=OB，E为AB的中点，∴OE⊥AB，∠BOE=∠AOE=45°，OE=EA=BE，∴∠OAD=45°，∠GOE=90°+45°=135°，∴∠EAF=135°=∠GOE.∵GE⊥EF即∠GEF=90°，∴∠OEG=∠AEF，在△GOE与△FAE中，，∴△GOE≌△FAE，∴OG=AF，∴BG﹣BO=GO=AF，∴BG﹣BO=AF.其余两种情形证明方法类似.10.解：(1)过C点作CE⊥y轴于点E，∵CE⊥y轴，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBE=∠BAO，在△AOB与△BEC中，
，∴△AOB≌△BEC(AAS)，∴CE=OB=n，BE=OA=m，∴OE=OB+BE=m+n，∴点C的坐标为(n，m+n).故答案为：(n，m+n)；(2)证明：∵△AOB≌△BEC，∴BE=OA=OP，CE=BO，∴PE=OB=CE，∴∠EPC=45°，∠APC=90°，∴∠1=∠2，在△ABM与△CBN中，，∴△ABM≌△CBN(ASA)，∴BM=BN；(3)证明：∵点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，∴AD=AC，AG=AC，∴AD=AG，∵∠1=∠5，∠1=∠6，∴∠5=∠6，在△DAH与△GAH中，，∴△DAH≌△GAH(SAS)，∴D，G关于x轴对称.
11.解：(1)如图1，过点E作EH⊥AB于H，交AC于M，设∠CAE=α，∴∠ABC=2∠CAE=2α，∵∠ACB=90°，∴∠CME=∠ABC=2α，∴∠AEH=∠CME﹣∠CAE=2α﹣α=α，∵∠AEF=∠ABC，∴∠AEF=2α，∴∠FEH=∠AEF﹣∠AEH=α=∠AEH，∵EH⊥AB，∴AE=FE，∵AC⊥BD，∵点B与点D关于AC对称，∴∠ADB=∠ABC=2α，在△ADE中，∠AED+∠DAE+∠ADB=180°，∵∠AED+∠AEF+∠BEF=180°，∴∠DAE+∠ADB=∠AEF+∠BEF，∵∠AEF=∠ABC，∴∠DAE+∠ADB=∠ABC+∠BEF∴∠DAE=∠BEF，在△ADE和△EBF中，，
∴△ADE≌△EBF，∴DE=BF；(2)如图2，过点C作CN⊥CD交AD于N，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠BCD，∵∠ACB=90°=∠ADB，∴∠CAN=∠CBD，在△ACN和△CBD中，，∴△ACN≌△CBD，∴CN=CD，∵∠DCN=90°，∴∠ADC=45°；12.(1)证明：∵∠BAC=∠OAD=90°∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO∴∠DAC=∠OAB在△AOB与△ADC中∴△AOB≌△ADC，∴OB=DC；(2)∵∠BOC=130°，∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，
∵△AOB≌△ADC∠AOB=∠ADC，∴∠ADC+∠AOC=230°，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴∠DAO=90°，∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；(3)当CD=CO时，∴∠CDO=∠COD=70°∵△AOD是等腰直角三角形，∴∠ODA=45°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°又∠AOB=∠ADC=α∴α=115°；当OD=CO时，∴∠DCO=∠CDO=40°∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°∴α=85°；当CD=OD时，∴∠DCO=∠DOC=40°∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°∴α=145°；综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形.
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