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人教A版高数学导学案教案 4.1.1圆的标准方程

2022-09-22
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4.1.1圆的标准方程（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？由学生回答，然后引入课题设置情境引入课题概念形成确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r＞0)设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M|MA|=r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件①化简可得：(x–a)2+(y–b)2=r2②引导学生自己证明(x–a)2+(y–b)2=r2为圆的方程，得出结论.方程②就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.通过学生自己证明培养学生的探究能力.5 6––4––2––––2–––4––––55AM应用举例例1写出圆心为A(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x–a)2+(y–b)2=r2的关系的判断方法：（1）(x0–a)2+(y0–b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0–a)2+(y0–b)2=r2，点在圆上.（3）(x0–a)2+(y0–b)2＜r2，点在圆内.引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.例1解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x+3)22+(y+3)2=25.把M1(5，–7)，M2(，–1)的坐标代入方程(x–2)2+(y+3)2=25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2(，–1)的坐标代入方程(x–2)2+(y+3)22=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.例2△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–8).求它的外接圆的方程.例2解：设所求圆的方程是(x–a)2+(y–b)2=r2.①因为A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2+(y–b)2=r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)5 解此方程组，得所以，△ABC的外接圆的方程是(x–2)2+(y+3)2=25.22222例3已知圆心为C的圆C.经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在l:x–y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本P127第1、3、4题师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)BmAC例3解：因为A(1，1)，B(2，–2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率kAB==–3，因为线段AB的垂直平分线l′的方程是y+，即x–3y–3=0.圆心C的坐标是方程组的解.5 解此方程组，得所以圆心C的坐标是(–3，–2).圆心为C的圆的半径长r=|AC|==5.所以，圆心为C的圆的标准方程是(x+3)22+(y+2)2=25.归纳总结1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判断方法.3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.教师启发，学生自己比较、归纳.形成知识体系课外作业布置作业：见习案4.1第一课时学生独立完成巩固深化备选例题例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x2+(y+3)2=2；（2）(x+2)2+(y–1)2=a2(a≠0)【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为；（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.例2圆心在直线x–2y–3=0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为(x–a)2+(y–b)2=r2由条件知解方程组得即所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10解法2：，AB的中点是(0，–4)，所以AB的中垂线方程为2x+y+4=0由得因为圆心为(–1,–2)又.所以所求的圆的方程是(x+1)2+(y+2)2=10.例3已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.5 【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值..因为|PA|＜|PB|＜|PC|所以圆的半径.故所求的圆的方程为(x–2)2+(y+1)2=13.5 查看更多

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