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第六章计数原理[数学文化]——了解数学传统文化的发展与应用排列组合发展史虽然数数始于结绳计数的远古时代，由于那时人的智力的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧．随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧．中国古代的《易经》中用十个天干和十二个地支以六十为周期来记载月和年，以及在洛书河图中关于幻方的记载，是人们至今所了解的最早发现的组合问题．于11和12世纪间，贾宪就发现了二项式系数，杨辉将它整理记载在他的《续古抉奇法》一书中，这就是中国通常称的杨辉三角．事实上，于12世纪印度的婆什迦罗第二也发现了这种组合数.13世纪波斯的哲学家曾讲授过此类三角．而在西方，布莱士·帕斯卡发现这个三角形是在17世纪中期．杨辉[读图探新]——发现现象背后的知识1．想着家里热腾腾的饺子，盼着过年那张望眼欲穿的车票，一个信念：有钱没钱回家过年！已知有一条动车线，在甲、乙两城之间来往，中途停靠4处．连头带尾，共有6个停靠站．2．2019年10月1日我军首次组建领导指挥方队接受检阅，350余名受阅队员全部从解放军全新作战指挥链中抽组，25名将军组成将军排面……这是我军首次组建领导指挥方队接受检阅．
3．接力赛是田径运动中一项很常见的赛制，每年的学校运动会中都会有，这是一个最能代表团体合作精神的项目．要想在这个项目中取得好的成绩，就必须对参加接力赛的队员进行科学的排兵布阵．问题1：为了这6个站，要准备多少种不同的车票呢？问题2：25名将军站在排面有多少种排列的方法？问题3：4×100米接力赛中，共有多少种安排的方法？链接：以上问题均为计数问题，计数问题是数学的重要研究对象之一，其相关内容是进一步学习概率的基础．学习时应重视两个计数原理的学习，分清问题的解决是要分类还是分步；对问题涉及的是排列问题、组合问题，还是排列与组合的综合问题，要认真辨析，抓住联系，弄清区别.6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课标要求素养要求1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.通过两个计数原理的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究
2017年3月3日政协十二届第5次会议在北京举行，某政协委员3月2日要从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘坐动车组，假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘．问题 这个政协委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径可选？提示 该政协委员共有3＋4＝7(种)快捷途径可选．1．分类加法计数原理正确运用分类加法计数原理的关键是明确分类的标准并做到不重不漏完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．拓展深化[微判断]1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)提示 在分类加法计数原理中，两类不同的方案中，每一种方法都不相同．2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(√)3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)4．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)[微训练]1．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )A．6B．5C．3D．2解析 由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)不同的选法．答案 B
2．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有__________种不同的取法．解析 由分步乘法计数原理知，共有6×8＝48(种)不同的取法．答案 48[微思考]用一个大写的英文字母或0～9这10个阿拉伯数字中的一个给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？提示 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码.题型一 分类加法计数原理的应用【例1】 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________．解析 法一 根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二 分析个位数字，可分以下几类：个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位数字是7的有6个；……个位数字是2的有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案 36【迁移1】 (变条件)若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．解 当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).【迁移2】 (变条件，变设问)用1，2，3这3个数字可以组成没有重复数字的整数__________个．解析 分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12，21，23，32，13，31，共6个；第三类为三位整数，有123，132，231，213，321，312，共6个，∴由分类加法计数原理知共可组成没有重复数字的整数3＋6＋6＝15(个)．答案 15规律方法 利用分类加法计数原理计数时的解题流程【训练1】 满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14B．13C．12D．10解析 由关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，得a＝0，b∈R或a≠0时，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；若a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；若a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．∴由分类加法计数原理知共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.答案 B
题型二 分步乘法计数原理【例2】 在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在{0，1，2，3}内取值，则可以组成多少个不同的点P?解 确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标．第一步，确定横坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，也有4种方法．根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.故可以组成16个不同的点P.规律方法 应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事．(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成，即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行．(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整．【训练2】 用0，1，2，3，4，5，6这七个数字共能组成多少个两位数？解 第一步，确定十位数字，1，2，3，4，5，6六个数字都可以选择，有6种方法；第二步，确定个位数字，0，1，2，3，4，5，6七个数字都可以选择，有7种选法．根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6×7＝42(个)．故可以组成42个两位数．题型三 两个计数原理的简单应用【例3】 现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解 (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．规律方法 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．【训练3】 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解 由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．法一 分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计算原理知，共有18＋2＝20(种)选法．
法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选．可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法：第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同选法.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，分类加法计数原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；分步乘法计数原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系．3．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．二、素养训练1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具从A地到B地的不同走法的种数为( )A．1＋1＋1＝3B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24D．以上都不对解析 分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，由分类加法计数原理知共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．
答案 B2．现有3名老师、8名男生和5名女生共16人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为( )A．39B．24C．15D．16解析 先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.答案 A3．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24B．18C．12D．9解析 由题意可知E→F共有6条最短路径，F→G共有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径，故选B.答案 B4．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有__________个．解析 第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(种)方法，即共组成36个虚数．答案 365．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有__________个，其中不同的偶函数共有__________个．解析 一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数为3×3×2＝18.其中不同的偶函数的个数为3×2＝6.答案 18 6
基础达标一、选择题1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )A．24种B．9种C．3种D．26种解析 不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法．答案 B2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )A．1B．3C．6D．9解析 可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点．答案 D3．某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有( )A．12种B．7种C．14种D．49种解析 完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场．第一步进门共有4＋3＝7(种)方法，第二步出门共有4＋3＝7(种)方法．由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种)．答案 D4．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种B．20种C．25种D．32种解析 每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种)．答案 D5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A．60B．48C．36D．24解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个)．答案 B二、填空题6．已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，则能使logab>1的对数值有__________个．解析 分四类，当a＝2时，b取3，5，7，9四种情况；当a＝4时，b取5，7，9三种情况；当a＝6时，b取7，9两种情况；当a＝8时，b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10种，又log23＝log49，所以对数值有9个．答案 97．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为__________．解析 由题意知本题是一个分类计数问题．若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8＝72；若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，
所以排法种数为4×8×8＝256.所以可以组成256＋72＝328(个)没有重复数字的三位偶数．答案 3288．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__________种．解析 按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1，4，共2种；第2类，脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种．根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．答案 13三、解答题9．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数．解 分三类：第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3210，共1个；第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4321，4320，4310，4210，共4个；第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5432，5431，5430，5421，5420，5410，5321，5320，5310，5210，共10个．由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15个“渐降数”．10．王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？
解 (1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定应用分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的带法．(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的带法．(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法．即有三类情况，应用分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47(种)不同的带法．能力提升11．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有__________个．解析 满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8(个)；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32(个)，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)．答案 4012．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数满足m＞n的数对有多少个？解 (1)∵集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25(个)不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中所取两数满足m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3有2种结果；当m＝6时，n
＝1，3，5有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)不同的数对．创新猜想13．(多空题)在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有__________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有__________种不同的方法．解析 对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法．答案 5 614．(多空题)一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__________种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__________种．解析 根据分类加法计数原理，从中任选1名同学参加学科竞赛共有5＋4＝9(种)选派方法．根据分步乘法计数原理，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛共有4×5＝20(种)选派方法．答案 9 20
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