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5.3.2极值与最值【题组一求极值及极值点】1．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（）A．－2，2B．2，－2C．5，－3D．－5，3【答案】A【解析】易知函数定义域是，由题意，当或时，，当或时，，∴在和上递增，在和上递减，∴极大值点是－2，极小值点是2．故选：A．2．（2020·黑山县黑山中学高二月考）函数的极值点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，且为单调函数，∴，，由，故的极值点所在的区间为，故选：B.3．（2020·河北新华·高二期末）“”是“函数在上有极值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值.
若函数在上有极值，则，.因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.故选：A.4．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点【答案】D【解析】因为，所以．又，所以为的极小值点．5．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（）A．15B．16C．17D．18【答案】D【解析】,又因为是函数的极小值点，所以，，所以，由，或，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的极大值为，故选D.6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（理））函数在上的极大值为（）A．B．0C．D．【答案】A【解析】由可得当时，单调递增
当时，单调递减所以函数在上的极大值为故选：A7．（2020·高二期中）函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A．0B．1C．2D．无数个【答案】A【解析】，由得，方程无解，因此函数无极值点8．（2020·北京高二期末）已知函数.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）极小值是，无极大值.【解析】（Ⅰ）的定义域是，，，故所求切线斜率，过的切线方程是：，即；（Ⅱ），令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故的极小值是，无极大值.9．（2019·湖南雨花·高二期末（文））已知函数．（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极值．【答案】（1）单调增区间为：和，单调减区间为：；（2）极大值40，极小值8．【解析】（1）∵，∴．令，则或2，200单调递增40单调递减8单调递增故的单调增区间为：和，单调减区间为：．（2）由（1）得：当时，有极大值40，当时，有极小值8．10．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（理））已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调区间及极值．【答案】（1）；（2）减区间为，，增区间为；极小值为，极大值为25．【解析】（1）显然由题意有，，，∴∴由点斜式可知，切线方程为：；（2）由（1）有∴时，或时，∴的单减区间为，；单增区间为∴在处取得极小值，在处取得极大值.【题组二求最值点最值】
1．（2020·四川内江·高二期末（文））函数在区间上的最大值是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，，令，解得．∴函数在内单调递增，在内单调递减．∴时函数取得极大值即最大值．．故选B．2．（2020·甘肃武威·高三月考（理））已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则，当时，，所以在区间上单调递减，所以对任意有，即，所以函数在区间上单调递减，因此在区间上的最大值为，最小值为.3．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考）已知函数，，．若在处与直线相切．
（1）求，的值；（2）求在，上的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数，，函数在处与直线相切，，解得；（2），，当时，令得：，令，得，在，，上单调递增，在，上单调递减，所以函数的极大值就是最大值，（1）．4．（2020·安徽庐阳·高三月考（文））已知函数f（x）＝ax3+bx+c在x＝2处取得极值为c﹣16.（1）求a、b的值；（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为28.【解析】（1）因，故，由于在点处取得极值，故有，即，解得；（2）由（1）知，
令，得，当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数，当时，故在上为增函数．由此可知在处取得极大值，在处取得极小值，由题设条件知，得，此时，，，因此上的最小值为，最大值为28.5．（2020·河南商丘·高三月考（文））已知的一个极值点为2.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）函数的减区间为，增区间为，；（2）最小值是，最大值是13.【解析】（1），，的一个极值点为2，，解得.，，令，得或；令，得；令，得或；故函数的减区间为，增区间为，.（2）由（1）知，，当时，；当时，；在上为增函数，在上为减函数，
是的极大值点，又，，，所以函数在上的最小值是，最大值是13.6．（2020·重庆高二期末）已知（）在处取得极值.（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）增区间为，，减区间为；（3）最大值为9，最小值为.【解析】（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.（2）由（1）得，，由得或；由得.故的单调增区间为，，单减区间为.（3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.【题组三已知极值及最值求参数】1．（2020·湖南其他（理））已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，令，
∴，∴时，在单调递增；∴时，在单调递减.如图，∴，∴当时，，∴，在上单调递增，不成立；当时，在上单调增减，成立；当时，有两个根，，∵当时，，；当时，，；当时，，，∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.综上，.故选：A2．（2020·河南郑州·高三月考（文））已知函数，若在上既有极大值，又有最小值，且最小值为，则的取值范围为（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】的零点为和1，因为，所以1是函数的极小值即最小值点，则是函数的极大值点，所以，且，解得.故选：C.3．（2020·广东高二期末（理））函数在，上最大值为2，最小值为0，则实数取值范围为（）A．，B．，C．，D．【答案】A【解析】.，，令，则或(舍负)，当时，，单调递增；当时，，单调递减.函数在，上最大值为2，最小值为0，且，（1），
.故选：A.4．（2020·贵州遵义·高三其他（文））若函数无极值点则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,，由函数无极值点知，至多1个实数根，，解得，实数a的取值范围是，故选：B5．（2020·四川省绵阳高二开学考试（理））函数+m在[0，2]上的最小值是2-e，则最大值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B
【解析】，因为，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值，根据题意有，所以，当时，，当时，，所以其最大值是2，故选：B.6．（2020·四川省绵阳高二月考（理））函数在内有最小值，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，当x＞，f（x）为增函数，0＜x＜为减函数，f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a的取值范围为（0，1）故答案为B7．（2020·黑龙江高二期中（理））已知函数
（1）若，求函数的极值；（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围.【答案】(1)函数的极大值为函数的极小值为(2)【解析】（1），，定义域为，又.当或时；当时∴函数的极大值为函数的极小值为.（2）函数的定义域为，且，令，得或，当，即时，在上单调递增，∴在上的最小值是，符号题意；当时，在上的最小值是，不合题意；当时，在上单调递减，∴在上的最小值是，不合题意故的取值范围为8．（2020·高二期末）已知函数.（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；
（3）若，讨论函数在上的零点个数．【答案】（1）1；（2）；（3）答案见解析.【解析】(1)当时，，因为，所以，所以为单调递增函数，所以．(2)，，当时，，所以为单调递增函数，，符合题意；当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以，因为，故，与的最小值为1矛盾.故实数的取值范围为(3)由(2)可知，当时，在上，为单调递增函数，，此时函数的零点个数为0；当时，，令，则，函数单调递减，令，解得，所以当，，，，，，所以当时，，此时函数在上的零点个数为0；当时，，此时函数在上的零点个数为1；，又，故在存在一个零点，
，故在存在一个零点，此时函数在上的零点个数为2．综上，可得时，函数在上的零点个数为0；时，函数在上的零点个数为1；，函数在上的零点个数为2.9．（2020·广东禅城·高二月考）已知函数；讨论的极值点的个数；若，求证：．【答案】（1）当a≤0时，f（x）无极值点；当a＞0时，函数y=f（x）有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析【解析】（1）根据题意可得，，当时，，函数是减函数，无极值点；当时，令，得，即，又在上存在一解，不妨设为，所以函数在上是单调递增的，在上是单调递减的.所以函数有一个极大值点，无极小值点；总之：当时，无极值点；当时，函数有一个极大值点，无极小值点.（2），，由（1）可知有极大值，且满足①，又在上是增函数，且，所以，
又知：，②由①可得，代入②得，令，则恒成立，所以在上是增函数，所以，即，所以.10．（2020·四川达州·高二期末（理））已知，函数，.（1）讨论的单调性；（2）记函数，求在上的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1），则.当时，当时，，函数单调递增；当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），，.①当时，对任意的，，函数单调递增，
所以，函数在上的最小值为；②若，对任意的，，函数单调递减，所以，函数在上的最小值为；③若时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，又因为，，.（i）当时，即当时，，此时，函数在区间上的最小值为；（ii）当时，即当时，.此时，函数在区间上的最小值为.综上所述，.11．（2020·四川省绵阳高二期中（文））已知函数在处取得极小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．
【答案】（1）（2）最小值为1，最大值为3．【解析】（1），由，得或．当时，，则在上单调递增，在上单调递减，符合题意，由，得；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，不符合题意．所以．（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，因为，所以的最小值为1，最大值为3．12．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））已知函数，曲线在点处切线方程为．（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）．由已知得，．故，．从而，．（2）由（1）知，，．
令得，或．从而当时，；当时，．故在，上单调递增，在上单调递减．当时，函数取得极大值，极大值为．
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