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第五章一元函数的导数及其应用单元过关检测基础A卷解析版题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．设是可导函数，且，则（）A．B．-1C．0D．-2【答案】B【分析】根据导数定义，即可求出．【详解】试题分析：因为所以，故选：B.【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于基础题．2．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（）
A．B．C．D．【答案】D【解析】观察可知导函数图像由正变负，则原函数应先递增，后递减，故选择D.方法点睛：辨识函数图像与导数图像主要是依据利用导数研究函数的单调性，当函数在区间上满足，则在区间上单调递增，当函数在区间上满足，则在区间上单调递减.3．函数在上的最小值和最大值分别是A．B．C．D．【答案】A【分析】求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【详解】函数，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．
故选：A．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．4．已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：求导，则在恒成立，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数进行求解．详解：因为函数在上为增函数，所以在恒成立，即在上恒成立，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，即，即.故选A．
点睛：1.已知函数在区间上单调递增，求有关参数问题，往往转化为在区间上恒成立问题进行求解；2.解决不等式恒成立问题，往往分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用“恒成立”进行求解．5．若曲线在处的切线，也是的切线，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用导数求得曲线在处的切线方程，并设该切线与曲线切于点，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数的值.【详解】对于函数，，则，又，所以，曲线在处的切线方程为，即，设直线与曲线相切于点，对于函数，其导数为，由导数的几何意义可得，得，所以，切点坐标为，代入切线方程得.故选：C.【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点.
6．函数在处取极小值，则（）A．6或2B．或C．6D．【答案】D【分析】先求导数，根据求得，再代入验证是否满足题意.【详解】或当时，，当时，当时，函数在处取极大值，不符题意，舍去；当时，，当时，当时，函数在处取极小值，故选：D【点睛】本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知函数，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可得是偶函数，当时，，可得在
单调递增，又，，，根据函数的单调性可得出答案.【详解】由，则是偶函数，当时，，所以在单调递增，由，，，则，所以又，所以故选：D【点睛】本题考查利用单调性比较函数值大小，考查利用导数分析函数单调性，考查指数、对数的的大小的比较，属于中档题.8．已知为上的可导函数，且有，则对于任意的，当时，有( )A．B．C．D．【答案】B【分析】构造函数h（x）=xf（x），根据函数的单调性判断即可．【详解】
不妨设h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x）．∵当x＞0，有，∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，即h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，则对于任意的a，b∈（0，+∞），当a＞b时，则g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．二、多选题9．若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论【详解】解：直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，
故选：BCD【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题10．已知函数的导函数的图像如图，则下列叙述正确的是（）A．函数只有一个极值点B．函数满足，且在处取得极小值C．函数在处取得极大值D．函数在内单调递减【答案】AC【分析】通过观察导函数的图像及导函数的正负表示原函数的增减，依次判断即可得出结果.【详解】由导函数的图像可得，当x2时，，函数单调递减.所以函数的单调递减区间为,只有当x=2时函数取得极大值，无极小值.故选:AC.【点睛】
本题考查利用导函数的图像研究函数的性质,考查数形结合的能力，属于基础题.11．素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（）A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢B．当x很大时，随着x的增大，减小C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少D．因为，所以【答案】AC【分析】令函数且，用导数法逐项判断.【详解】设函数且，则且，且，当时，，所以当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢，故A正确；
函数的图象如图所示：由图象可得随着x的增大，并不减小，故B错误；当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确；，故D错误．故选：AC．12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）．A．当时，B．函数有五个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立【答案】AD【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B、
C、D．【详解】设，则，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即故A正确．当时，，所以，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极小值，当时，，又，故函数在仅有一个零点．当时，，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点，又，故函数是定义在上有3个零点．故B错误．作出函数的大致图象，由图可知
若关于的方程有解，则实数的取值范围是.故C错误．由图可知，对，故D正确．故选：AD．【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数的零点，综合性较强．三、填空题13．若函数的的导数为，且则_______________【答案】12【分析】求出导函数，令可求得．【详解】由题意，∴，∴．故答案为：－12．
【点睛】本题考查导数的运算，掌握导数运算法则是解题关键．14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．【答案】(4)(1)(3)(2)【详解】容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，根据导数的几何意义可知，函数图象切线斜率变化故先慢后快，与(4)对应；容器为球形，水高度变化为快—慢—快，根据导数的几何意义可知，应与(1)对应；容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但容器细，容器粗，故水高度的变化为：容器快，与(3)对应，容器慢，与(2)对应.故答案为(4)；(1)；(3)；(2)．15．若函数有且只有一个零点，则实数的值为_______.【答案】1【分析】
求出导函数，利用导数与函数单调性的关系求出单调区间，由题意，只需即可求解.【详解】由，（），则，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得极小值.所以函数有且只有一个零点，只需，即，解得.故答案为：116．已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是______立方米.【答案】【分析】
设圆柱的高为，底面圆的半径为，可得，，圆柱的体积，构造函数，，求导并判断单调性，可求出最大值，即可求出答案.【详解】设圆柱的高为，底面圆的半径为，则，即，由，可得，圆柱的体积，将代入，可得，构造函数，，求导得，则时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，所以的最大值为.即时，该圆柱的体积最大，最大体积是立方米.故答案为：.【点睛】本题考查柱体体积的计算，考查利用导函数求最大值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.四、解答题17．已知函数在与处都取得极值．(1)求函数的解析式及单调区间；(2)求函数在区间的最大值与最小值．【答案】（1），单调增区间是，减区间是（2），
【分析】（1）对求导，根据在与处都取得极值，得和，建立方程组求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正负时x的范围，从而得出相应的单调区间，得解；（2）根据（1）可得出的极值点，再求出边界点和的值，与极值点的函数值比较大小可得解.【详解】（1）因为，所以,因为在与处都取得极值，所以，即，解得即，所以，令或，令，所以的单调增区间是，减区间是.（2）由（1）可知，1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增
的极小值，的极大值，而，，可得时，，.故得解.【点睛】本题考查通过导函数研究函数的单调性，极值，最值的问题，属于基础题．18．设函数．（1）求函数的单调区间．（2）若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围．【答案】（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2）【解析】试题分析：（1），解或的解集；（2）先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.试题解析：（1），当时，或.当时，.（2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增，为减函数，为增函数，根据函数的图像特征，判断轴应在极值之间，得,考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.19．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间．【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间是；当时，的单调递减区间是；递增区间是．【分析】（1）对函数进行求导，把代入导函数中，求出在点处的切线的斜率，写出直线的点斜式方程，最后化为一般方程；（2）对的值，进行分类讨论，求出的单调区间．【详解】（1）当时，，所以．所以，，所以切线方程为．（2）．当时，在时，所以的单调增区间是；当时，函数与在定义域上的情况如下：所以的单调递减区间是；递增区间是．
综上所述：当时，的单调增区间是；当时，的单调递减区间是；递增区间是．【点睛】本题考查了导数的几何意义、求曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性.本题考查了分类讨论思想.20．某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.（1）试将表示成关于的函数；（2）需要修建多少个增压站才能使总费用最小？【答案】（1）；（2）19个【分析】（1）由题可知需要新建个增压站，即可求得余下工程的总费用，得到函数的解析式；（2）由（1）可得，利用导数求出的单调性与最值，即可得解.【详解】解：（1）设需要新建个增压站，且，即，则关于的函数关系式为
；（2）由（1）知，，，令，得，解得，当时，，在区间内为减函数，当时，，在区间内为增函数，所以在处取得最小值，此时，即需新建19个增压站才能使最小.【点睛】本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中根据题意，得出函数的解析式，合理利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.21．已知函数(其中)，为的导数.（1）求导数的最小值；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先求导数，再构造，利用导数和函数的单调性确定函数的最值．（2）令，通过求导分类讨论，根据导数和最值的关系即求．【详解】（1），令，
当时，则.故时，，为增函数，故，即导数的最小值为1.（2）令，，当时，若，则由（1）可知，，所以为增函数，故恒成立，即．当时，由（1）可知在上为增函数，且，，故存在唯一，使得．则当时，，为减函数，所以，此时与恒成立矛盾．综上所述，．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决恒成立问题，解题关键是构造函数,通过求进而得解，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．22．函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】
（1）对分类讨论，利用导数证明单调性即可；（2）构造函数利用导数得出的极值点，根据极值点得出，再次构造函数，利用导数证明其单调性，根据单调性得出，结合得出，再由的单调性，即可证明.【详解】（1）函数，..对分类讨论：时，，可得：时，函数单调递减；时，函数单调递增.时，令，.时，，，则函数在上单调递减.且时，由，解得，..时，，∴函数在，上单调递减；在上单调递增.时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：
即令∴可得函数在上单调递减，在上单调递增∴时，函数取得极小值即最小值，∵，∴设，∴函数在上单调递增，∴∴∵，，在上单调递增，∴∴【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究双变量问题，属于中档题.
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