资料简介
第二章§2.1直线的倾斜角与斜率
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔_______l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示k1＝k2
知识点二 两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔_________l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔_______k1k2＝－1l1⊥l2
思考两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？答案不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在.
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若l1∥l2，则k1＝k2.()2.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.()3.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.()×√×
2题型探究PARTTWO
一、两条直线平行的判定例1已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明.解四边形ABCD是平行四边形，证明如下：因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.因此四边形ABCD是平行四边形.
反思感悟判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1(1)已知l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)，判断直线l1与l2是否平行.解∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行.解由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在.由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
二、两条直线垂直的判定例2已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.
解若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
反思感悟判断两条直线是否垂直在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
跟踪训练2判断下列各题中l1与l2是否垂直.(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40).解l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；∴l1⊥l2.
核心素养之逻辑推理与数学运算HEXINSUYANGZHILUOJITUILIYUSHUXUEYUNSUAN垂直与平行的综合应用典例已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状.
解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
素养提升用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查.
3随堂演练PARTTHREE
1.若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是√12345
2.已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为12345√当a＝0时，l2的斜率不存在.
3.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是A.平行B.垂直C.可能重合D.无法确定√12345解析由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
4.(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2B.若k1＝k2，则l1∥l2C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2D.若α1＝α2，则l1∥l2√12345√√√
5.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________.12345－1解析若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意.故PQ斜率存在.得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
1.知识清单：两直线平行或垂直的条件.2.方法归纳：分类讨论，数形结合.3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是A.相交B.平行C.重合D.以上都不对√基础巩固12345678910111213141516解析斜率都为0且不重合，所以平行.
2.已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是A.－8B.0C.2D.10√12345678910111213141516
3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为A.(3,0)B.(－3,0)C.(0，－3)D.(0,3)√12345678910111213141516所以y＝3.即P(0,3).
解析易知a＝0不符合题意.√12345678910111213141516
5.(多选)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是A.PQ∥SRB.PQ⊥PSC.PS∥QSD.PR⊥QS√√√解析由斜率公式知，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故ABD正确.12345678910111213141516
6.若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是_____.12345678910111213141516
7.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝_____，若l1∥l2，则m＝____.12345678910111213141516－22若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
8.已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是__________.12345678910111213141516(0，－11)解析设P(0，y)，由∠BAP＝90°知，解得y＝－11.所以点P的坐标是(0，－11).
9.当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；12345678910111213141516
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；12345678910111213141516
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行.12345678910111213141516
10.已知▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).(1)求点D的坐标；12345678910111213141516解设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以D(－1,6).
(2)试判定▱ABCD是否为菱形？12345678910111213141516所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形.
11.(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为A.－1B.0C.1D.2√综合运用√解析当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.12345678910111213141516
12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是A.(－3,1)B.(4,1)C.(－2,1)D.(2，－1)√解析如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.12345678910111213141516
13.若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为A.135°B.45°C.30°D.60°√12345678910111213141516解析若a＝b－1，则P，Q重合，不合题意，故直线PQ斜率存在.∴l的斜率为1，倾斜角为45°.
14.下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有________.(填序号)①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；12345678910111213141516④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6).①③④
12345678910111213141516∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.∴，∴l1∥l2.④l1，l2的斜率均不存在，∴l1∥l2.
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.12345678910111213141516拓广探究
解析如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，12345678910111213141516
16.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.12345678910111213141516
由kBC＝0知直线BC∥x轴，∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在.设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；12345678910111213141516
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