资料简介
第一章§1.2空间向量基本定理
1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝.我们把{a，b，c}叫做空间的一个，a，b，c都叫做基向量.不共面xa＋yb＋zc基底
思考零向量能否作为基向量？答案不能.零向量与任意两个向量a，b都共面.
知识点二 空间向量的正交分解1.单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量，且长度都是，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.2.向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.两两垂直1
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.()2.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.()3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.()4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.()×√√×
2题型探究PARTTWO
一、空间的基底
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，
反思感悟基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练1(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有A.1个B.2个C.3个D.0个√解析因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.如图，可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.
(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝_____.0解析因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).所以x＋y＝0.
二、空间向量基本定理
解连接A′N(图略).
延伸探究解因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
反思感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
解连接BO，
3随堂演练PARTTHREE
1.下列结论错误的是A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底√解析由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误.12345
2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是A.3a，a－b，a＋2bB.2b，b－2a，b＋2aC.a，2b，b－cD.c，a＋c，a－c√12345解析对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面.故选C.
3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是√12345解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间的一个基底.
√12345
12345
12345
1.知识清单：(1)空间的基底.(2)空间向量基本定理.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件.(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件√基础巩固12345678910111213141516解析当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇏q，q⇒p.
√12345678910111213141516
√12345678910111213141516
4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则A.a，p，q是空间的一组基底B.b，p，q是空间的一组基底C.c，p，q是空间的一组基底D.p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底√解析假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.12345678910111213141516
√12345678910111213141516
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√综合运用12345678910111213141516
解析取PC的中点E，连接NE，12345678910111213141516
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解析如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，123456789101112131415163a＋3b－5c
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√12345678910111213141516拓广探究
解析如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，12345678910111213141516
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