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第一章空间向量与立体几何
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)√12345678910111213141516171819202122
2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是A.a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)B.a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)C.a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)D.a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)√12345678910111213141516171819202122解析由l∥α，故a⊥μ，即a·μ＝0，故选D.
3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为A.－1B.0C.1D.2√12345678910111213141516171819202122
4.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为A.2B.3C.4D.5√解析设BC边的中点为D，12345678910111213141516171819202122
5.若向量a＝(x，4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x等于A.3B.－3C.－11D.3或－11√解析因为a·b＝(x，4,5)·(1，－2,2)＝x－8＋10＝x＋2，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.12345678910111213141516171819202122
解析由题意知，∵α∥β，∴u＝λν，√12345678910111213141516171819202122
7.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为A.－1,2B.1，－2C.1,2D.－1，－2√解析c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，12345678910111213141516171819202122
8.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为12345678910111213141516171819202122√
解析如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，12345678910111213141516171819202122设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，又平面ABE的法向量为m＝(1,0,0)，
12345678910111213141516171819202122
A.(4，－2,2)B.(－2,2,4)C.(－4,2，－2)D.(2，－2,4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)√12345678910111213141516171819202122√
故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4).12345678910111213141516171819202122
10.在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BCA.垂直B.相交C.共面D.异面√√√因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，所以AE和BC垂直.又AE，BC显然相交，故选ABC.12345678910111213141516171819202122
11.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α相交√12345678910111213141516171819202122√解析∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α.
12.已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是√√√若n是平面α的一个法向量，12345678910111213141516171819202122
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)12345678910111213141516171819202122
14.设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝_____.123456789101112131415161718192021224
15.在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为______.解析不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1).12345678910111213141516171819202122
16.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________；(2)|A1P|的最小值为________.(本题第一空2分，第二空3分)12345678910111213141516171819202122平行
解析(1)以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E，12345678910111213141516171819202122
所以PQ与BD的位置关系是平行.12345678910111213141516171819202122
四.解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知a＝(x，4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1).又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2).12345678910111213141516171819202122
解由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设a＋c与b＋c的夹角为θ，(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值.12345678910111213141516171819202122
18.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD.12345678910111213141516171819202122
证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，∵∠PBC＝30°，PC＝2，12345678910111213141516171819202122
12345678910111213141516171819202122∴CM∥平面PAD.
19.(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.12345678910111213141516171819202122(1)求证：BM∥平面ADEF；
证明∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2).∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.12345678910111213141516171819202122
(2)求证：BC⊥平面BDE.12345678910111213141516171819202122又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.
20.(12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离.12345678910111213141516171819202122
解如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，∴平面AB1O1∥平面BC1O.∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.12345678910111213141516171819202122
设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量，∴可取n＝(0,2，－1).点O1到平面BC1O的距离记为d，12345678910111213141516171819202122
21.(12分)如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，求平面B1A1B与平面A1BE夹角的余弦值.12345678910111213141516171819202122
解设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1).12345678910111213141516171819202122
又DA⊥平面A1B1B，12345678910111213141516171819202122
22.(12分)如图所示，已知几何体EFG－ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上.12345678910111213141516171819202122(1)求证：BM⊥EF；
证明因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，所以GD⊥DA，GD⊥DC，AD⊥CD，又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).因为点M在边DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1).12345678910111213141516171819202122所以BM⊥EF.
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.12345678910111213141516171819202122
解假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量，因为直线MB与平面BEF所成的角为45°，12345678910111213141516171819202122
12345678910111213141516171819202122直线MB与平面BEF所成的角为45°.
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