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第一章1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中的二面角称为平面α与平面β的夹角.不大于90°
知识点二空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_____直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝_____________＝______|cos〈u，n〉|
两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______
预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是√解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
2.已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝，则l与α所成的角为A.30°B.60°C.150°D.120°√解析设l与α所成的角为θ，故选B.
3.已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为____.
2题型探究PARTTWO
一、两条异面直线所成的角例1如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.
建立如图所示的空间直角坐标系，
反思感悟求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解.(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cosθ＝.
跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为√
解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
二、直线与平面所成的角例2如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.(1)证明：CM⊥SN；
证明设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，因此CM⊥SN.
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，取y＝1，得a＝(2,1，－2).设SN与平面CMN所成的角为θ，
反思感悟利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)设线面角为θ，则sinθ＝.
跟踪训练2如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
解以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，令a＝1可得n＝(1，－1,2).设A1B与平面AEF所成角为θ，
三、两个平面的夹角例3如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥平面ABCD；证明因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.
解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设棱长为2，因为∠CBA＝60°，平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
延伸探究本例不变，求平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值.
设平面BA1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
反思感悟求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.
跟踪训练3如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.
解如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO空间向量和实际问题典例如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值.
解由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，
素养提升利用空间向量解决实际问题(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题.(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养.
3随堂演练PARTTHREE
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为√12345
2.已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝，则α与β的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°√解析设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，12345
3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为√12345
解析如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝1，12345
4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cosθ＝_____.12345
5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_____.12345解析设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).
1.知识清单：(1)两条异面直线所成的角.(2)直线和平面所成的角.(3)两个平面的夹角.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为√基础巩固12345678910111213141516
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面夹角为A.45°B.135°C.45°或135°D.90°√即〈m，n〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.12345678910111213141516
3.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为√12345678910111213141516
4.若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为√解析设α与l所成的角为θ，12345678910111213141516
5.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为A.30°B.45°C.60°D.90°√12345678910111213141516
解析如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1).12345678910111213141516∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_____.12345678910111213141516
解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x，则O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，12345678910111213141516
7.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________.12345678910111213141516
解析如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，12345678910111213141516
8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于________.12345678910111213141516
解析如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z).12345678910111213141516
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).12345678910111213141516
9.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.12345678910111213141516
解以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，12345678910111213141516
证明如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，10.四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，DP，DB⊂平面PDB，∴AC⊥平面PDB，又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.12345678910111213141516
连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成角的大小为45°.12345678910111213141516
11.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为√12345678910111213141516综合运用
解析不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，12345678910111213141516
12.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为A.60°B.90°C.45°D.以上都不对√12345678910111213141516
解析以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，12345678910111213141516设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，
12345678910111213141516设直线与平面A1ED1所成角为θ，则sinθ＝1，所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
13.在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝____.解析平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，12345678910111213141516
14.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____.12345678910111213141516
解析取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系.设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516
12345678910111213141516
15.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，则异面直线AC与VD所成角的余弦值为_____.12345678910111213141516拓广探究
解析∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).12345678910111213141516
16.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点.12345678910111213141516(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
解以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.12345678910111213141516
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；12345678910111213141516
解连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.由A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，12345678910111213141516
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值.12345678910111213141516
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，12345678910111213141516
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