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人教2019A版选择性必修一第二章直线和圆的方程
学习目标1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?情境导学
一、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:新知探究
1.对于两条不重合的直线l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?小试牛刀2.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=.解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.答案:2答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.
二、两条直线垂直与斜率之间的关系点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.
4.若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是.解析:由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.答案:l1⊥l2
例1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).典例解析思路分析:斜率存在的直线求出斜率,利用l1∥l2⇔k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.
则A,B,M不共线.故l1∥l2.(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2.
延伸探究已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为.答案:0或1解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
归纳总结
例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.典例解析
解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意.综上所述,a的值为0或5.
两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.归纳总结
跟踪训练1已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是.解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).答案:(1,0)或(2,0)跟踪训练
例3如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.典例解析
所以四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形.
延伸探究1将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.”所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,
延伸探究2将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”
归纳总结
金题典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.思路分析:分析题意可知,AB、BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.金题典例
解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,则kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.①若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.
反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.
答案D当堂检测
2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()答案:D
3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.答案:44.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=.
5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.
课堂小结
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