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2.4.2空间两点的距离公式一、选择题1．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于( )A．10 B. C. D．38[答案] A[解析] A(2，－3,5)关于xOy坐标面的对称点B(2，－3，－5)∴|AB|＝＝10.2．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形[答案] D[解析] ∵|AB|＝，|AC|＝2，|BC|＝，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A、B、C共线，构不成三角形．3．已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为( )A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)C．(0,0，－3)D．(0,0,3)[答案] C[解析] 设M(0,0，C)，由|AM|＝|BM|得：＝，∴C＝－3，选C.4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)，B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为( )A．14B．3C．5D．42[答案] A[解析] d(A，B)＝＝14.5．(2010·曲师大附中高一期末检测)以A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是( )
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案] D[解析] |AB|＝＝7，|BC|＝＝7，|AC|＝＝7，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴△ABC为等腰直角三角形．6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )A．9 B. C．5 D．2[答案] B[解析] 如图所示，由题设条件可知：|AA1|＝3，|AB|＝2，∴C1(0,2,3)，∴|AC1|＝.7．点M(2，－3,5)到x轴的距离d等于( )A. B. C. D.[答案] B[解析] 点M在x轴上射影N的坐标是(2,0,0)，∴d＝＝.8．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝( )A. B. C. D.[答案] C[解析] ∵AB的中点M，C(0,1,0)，∴|CM|＝＝.二、填空题9．若点A(－1,2，－3)关于y轴的对称点为B，则AB的长为________．
[答案] 2[解析] ∵A(－1,2，－3)关于y轴的对称点B(1,2,3)，∴|AB|＝＝2.10．(2010·锦州市高一期末检测)在空间中，已知点A(－2，3,4)在y轴上有一点B使得|AB|＝7，则点B的坐标为________．[答案] (0,3＋，0)或(0,3－，0)[解析] 设点B的坐标为(0，b,0)，由题意得＝7，解得b＝3±.∴点B的坐标为(0,3＋，0)或(0,3－，0)11．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．[答案] [解析] ∵|AM|＝＝，∴对角线|AC1|＝2，设棱长为x，则3x2＝(2)2，∴x＝.12．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(0,0,4)，且|PA|＝5，满足条件的P点组成的曲线是________．[答案] 以O为圆心，半径为3的圆[解析] 如右图：∵AO⊥平面xOy，∴AO⊥OP，又|AO|＝4，|AP|＝5，∴|OP|＝3.三、解答题13．已知点P1、P2的坐标分别为(3,1，－1)、(2，－2，－3)，分别在x、y、z轴上取点A、B、C，使它们与P1、P2两点距离相等，求A、B、C的坐标．[解析] 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，c(0,0，z)，由|AP1|＝|AP2|得，＝∴x＝－3，
同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，由|CP1|＝|CP2|得z＝－，∴A(－3,0,0)，B(0，－1,0)，C(0,0，－)．14．(1)在z轴上求与点A(－4,1,7)和B(3,5，－2)等距离的点的坐标．(2)在yOz平面上，求与点A(3,1,2)、B(4，－2，－2)和C(0,5,1)等距离的点的坐标．[解析] (1)设所求点P为(0,0，c)由题设|PA|＝|PB|，∴＝解之得c＝，∴P(0,0，)．(2)设所求点为P(0，b，c)∵|PA|＝|PB|＝|PC|，∴∴∴∴P(0,1，－2)．15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A1C1|＝2，∵|MC1|＝2|A1M|，∴|A1M|＝，∴M(，，4)．又C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1中点∴N(1,2,2)，∴|MN|＝＝.16．若点G到△ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就为△ABC的重心．已知△ABC三个顶点的坐标分虽为A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(－1,3，－3)，求△ABC的重心G的坐标．[解析] 设重心G的坐标为(x，y，z)，则|GA|2＋|GB|2＋|GC|2＝(x－3)2＋(y－3)2＋(z－1)2＋(x－1)2＋y2＋(z－5)2＋(x＋1)2＋(y－3)2＋(z＋3)2
＝3x2－6x＋3y2－12y＋3z2－6z＋64＝3(x－1)2＋3(y－2)2＋3(z－1)2＋46，当x＝1，y＝2，z＝1时，|GA|2＋|GB|2＋|GC|2取最小值46，∴重心G的坐标为(1,2,1)
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