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3.3.4两条平行直线间的距离疱丁巧解牛知识•巧学一、两条平行直线间的距离1.公式：一般地，已知两条平行直线IC-CIli：Ax+By+G二0,L：Ax+By+C2=0(CiHCj,则这两条平行直线间的距离为d=1==.2.公式的得出：已知两条平行直线11：Ax+By+Ci二0,12：Ax+By+C2=0(Ci#:C2),求两平行线间的距离.发现两条平行线的方程经过变形都可化为5Ax+By+CFO,L：Ax+By+C2=0的形式.在h上任取一点p(o,-®),点p到12的距离经化简为dJ’—qi,发现这个距离只BJf+庆与x、y的系数和两个常数项有关，且关系明显，我们把它作为求两条平行线间的距离公式.即:一般地，已知两条平行线h：Ax+By+Ci=O,12：Ax+By+C2=0(C】HC2)・设P(xo,yo)是直线12上的任意一点，则Axo+Byo+C2=0,即Axo+Byo二-C2.于是，点P(xo,yo)到直线li：Ax+By+Ci=O的距离d二匹二壘二YI就是两平行直线h与I?之间的距离.3.另外，两平行线的方程用点斜式方程表示为：5y二kx+h,12：y=kx+b2,那么两平行线间的距离焙.误区警示两平行线间的距离的求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间距离公式*—I,在应用平行线间距离公式时要注意前提：除了要将直线Va2+B2方程化为一般形式之外，还要使X、y的系数分别相等.否则不能直接套用公式.这是在应用中经常出现的一个错误，同学们要特别注意.问题・探究19问题1对于一个三角形ABC,如果已知点A(0,—)、B(—,0),点C在已知直线1：3x+4y+3二023上滑动，那么三角形ABC的面积是否随着点C的变化而变化呢？探究：由八、B两点的坐标可以得出三角形ABC中边AB所在直线的方程为3x+4y-2二0,显然与直线3x+4y+3二0平行.而三角形ABC的面积等于AB线段长与AB边上的髙的乘积的一半.而|AB|=-,AB边上的高即为C点到直线AB的距离，而C在直线3x+4y+3=0±滑动，所以6高即为两平行直线3x+4y+3=0与3x+4y-2二0的距离，无论C点如何变化，高恒为定值h二回21=1,所以s^bc二丄|AB|・d二丄X-X1=丄.所以三角形ABC的面积不随点C的变522612化而变化.问题2什么是两条平行线之间的距离?它有什么特点?这个距离的公式是什么？有什么要求与特点，
是否适合于任意的两条平行直线？探究:两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的氏，平行线间的距离处处相等.对于两条平行直线h：Ax+By+G二0,I2：Ax+By+C2=0(GHC2),距离为d二单二£d.要求在应用公式前必须将两直线方程表示为一般式，且x、y的对应系数一致，在此前提下，这个公式适合于任意两平行直线，包括斜率不存在的直线也成立.典题•热题例1与两平行直线l1：3x-4y-5=0和l2:3x-4y+7=0距离之比为1:2的直线方程为()A.3x-4y-l=0或3x-4y+19=0B.3x-4y+3=0或3x-4y-l=0C.3x-4y-l=0或3x-4y-17=0D.3x-4y+3=0或3x-4y+19=0思路解析：方法一(排除法)由题意知，所求直线一条在h、12的内侧，另一条在I】、12所夹带形区域的外侧，且靠近h的部分，3x-4y+19=0在靠近I2的外侧部分，不合题意，故舍去A、D.又B中两条均在h、L的内侧，不成立，故选C.方法二：(应用平行线间距离公式)由题意，设所求方程为由昌即21c+51=|c-71,解得c二-17或c二T.故选C.答案：C深化升华从本题解法来看，如果作为选择题，用数形结合进行排除的方法比较简捷.而作为填空或解答题出现，则可应用两平行线间距离公式解方程.如果问题改成求到两平行直线Ax+By+C]=0和Ax+By+G=0等距离的直线，则直线有且仅有一条，其方程为例2直线h过点A(0,1),I2过点B(5,0),如果h〃h,且h与I2的距离为5,求h、12的方程.思路解析：本题要求直线的方程，其关键是求h、I2的斜率，根据条件h、I2的距离为5,可通过待定系数法求出斜率.设直线的斜率时耍考虑斜率是否一定存在，否则要对斜率不存在的情况进行验证.解：设直线的斜率为k.由斜截式得11的方程y=kx+l,即kx-y+l=0.由点斜式得I2的方程y=k(x-5),即kx-y-5k=0.在直线h上取点A(0,1),点A到直线询距离=51?・・・25於+10k+l二25F+25.・・・k二一.5・・・h的方程为12x-5y+5=0,I2的方程为12x-5y-60=0.若h、12的斜率不存在，则h的方程为x二0,12的方程为x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：
:12x-5y+5=0,[/|:x=0,:12x-5y-60=0[/2:x=5.误区警示在本类问题的解决中，要注意两个易错点:第一是两条平行线间距离公式的应用必须注意前提，就是把两条直线的方程化为一般式，且x、y对应的系数分别相等，才能代入公式求解运算•第二个注意点是在待定系数法求直线方程时，如果设直线斜率，则必须考虑直线的斜率是否一定存在，如果可以不存在，要对该特殊情况进行验证，以防漏根.例3两条互相平行的直线分别过A(6,2)、B(-3,-1),并且各自绕着A、B旋转，如果两平行线间的距离为d,(1)求d的取值范围；(2)求当d取最大值时两直线的方程.思路解析：根据题意，由两条平行线间的距离公式写出d与k之间的函数关系式，不难求出d的范围.可由范围发现d取最大值时的对应直线方程.解：⑴设两平行线的斜率为k,则两直线方程分别为y-2=k(x-6),y+1二k(x+3),即kx-y-6k+2=0,kx-y+3k-l=0.所以d」％_3|.由此得(81_d2)k2_54k+9_d2=0>Jl+疋VkER,・•・A=542-4(81-d2)(9一的20..•.d-90d2^0,得0〈dW3V10.(2)当两直线斜率不存在时,两直线分别为x=6,x=-3,则d=9,因为侯3皿此时辰丽厉两直线方程为3x+y-16二0,3x+y+10二0.深化升华本题若从问题的儿何背景考虑，易知分别过A、B的一切平行线的距离均不超过A、B两点的距离丨AB丨，当且仅当两平行线与直线AB垂直吋，两平行线间距离等于IAB|,所以d^=J(6+3)2+(2+l)2=3Vi0,此时，——=-1,即2-3.可见借助儿何直观6+3背景发挥形象思维优势，常可得到简捷解法.
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