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人教2019A版必修第二册第十章概率
概率的基本性质1.思考在抛掷质地均匀的骰子试验中,我们定义如下事件:C1=“出现1点”,C2=“出现2点”,C3=“出现3点”,C4=“出现4点”,C5=“出现5点”,C6=“出现6点”,D1=“出现的点数不大于1”,D2=“出现的点数大于4”,D3=“出现的点数小于6”,E=“出现的点数小于7”,F=“出现的点数大于6”,G=“出现的点数为偶数”,H=“出现的点数为奇数”,等等.(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?提示E是必然事件;F是不可能事件.(2)如果事件C1发生,那么一定有哪些事件发生?反之,成立吗?在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?提示如果事件C1发生,那么一定发生的事件有D1,D3,E,H,反之,如果事件D1,D3,E,H分别成立,那么能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1与集合D1相等.
(3)如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A发生、事件B发生的频数有什么关系?fn(A∪B)与fn(A),fn(B)有什么关系?进一步得到P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系?提示若事件A与事件B互斥,则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,从而有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B),由此得到P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.(4)如果事件A与事件B互为对立事件,P(A∪B)与P(A),P(B)又有什么关系?提示因为事件A与事件B互为对立事件,所以A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=1.由P(A∪B)=P(A)+P(B),得1=P(A)+P(B),从而得出P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
2.填空
归纳提升(1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.(2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.(3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=⌀时,就是性质3.
3.做一做(1)从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是()A.至少有一个红球与至少有一个白球B.恰有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与都是白球D.至多有一个红球与都是红球(2)掷一枚均匀的正六面体骰子,设A=“出现3点”,B=“出现偶数点”,则P(A∪B)等于.(3)甲、乙两人各射击一次,命中率分别为0.8和0.5,两人同时命中的概率为0.4,则甲、乙两人至少有一人命中的概率为.
(4)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件.()②在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).()③若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.()
解析:(1)由题意所有的基本事件可分为三类:两个红球,一红一白,两个白球.易知A选项的事件不互斥;C、D两个选项中的事件为对立事件;而B项中的事件是互斥,同时还有“两个红球”的事件,故不对立.故选B.(3)设事件A=“甲命中”,事件B=“乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质，例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用，类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质.我们从定义出发研究概率的性质，(1)概率的取值范围；(2)特殊事件的概率；(3)事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等。探究新知
1.概率P(A)的取值范围由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生，一般地，概率有如下性质：性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(Φ)=0.概念解析
2.概率的加法公式(互斥事件时有一个发生的概率)性质3.如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(AUB)=n(A)+n(B),这等价于P(AUB)=P(A)+P(B),即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和，所以我们有互斥事件的概率加法公式：
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)3.对立事件有一个发生的概率
例1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．[解析](1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10环或7环的概率为0.49.典例解析
一般地，对于事件A与事件B,如果A⊆B,即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率。于是我们有概率的单调性：在古典概型中，对于事件A与事件B,如果A⊆B,那么n(A)≤n(B).于是即P(A)≤P(B)性质5.如果A⊆B,那么P(A)≤P(B)由性质5可得,对于任意事件A,因为Φ⊆A⊆Ω所以0≤P(A)≤1.
一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1,R2不是互斥的,容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).一般地，我们有如下的性质：性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
由性质5可得,对于任意事件A,因为Φ⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.归纳总结
(1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.(2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.(3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=Φ时,就是性质3.
例2.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么(1)C=“抽到红花色”，求P(C);(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).解：(1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5(2)因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件.因此P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.典例解析
例3.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况。如果设A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”，A2=“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.解：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件A1A2=“两罐都中奖”，A12=“第一罐中奖，第二罐不中奖”，1A2=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A=A1A2∪A12∪1A2.因为A1A2,A12,A12两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A12)+P(1A2).
我们借助树状图来求相应事件的样本点数.可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30,且每个样本点都是等可能的.因为n(A1A2)=2,n(A12)=8,n(1A2)=8,所以
法2:注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于=“两罐都不中奖”，而n()=4×3=12,所以
1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3当堂达标答案:C解析:对立必互斥,互斥不一定对立,故②③正确,①错;又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),故④错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),故⑤错.
答案:C3.若事件A,B满足A∩B=⌀,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,则P(B)=.答案:0.7
4.盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黄球的概率是0.18,则摸出的球是白球的概率是,摸出的球不是黄球的概率是,摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率是.答案:0.400.820.605.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至少有一根熔断的概率是多少?解:设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96.
6.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:(1)求至多2人排队等候的概率;(2)求至少2人排队等候的概率.解:记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74.
课堂小结
1.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).2.在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P()来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
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