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8.6.3 平面与平面垂直学习目标核心素养1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)1.通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角αlβ或αABβ或PlQ或PABQ.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角αlβ的平面角是∠AOB.(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.13
思考1：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？[提示] 无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．2．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：(3)记作：α⊥β.(4)判定定理：文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β思考2：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？[提示] 不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．3．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线13
思考3：如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？[提示] 正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．1．如图所示的二面角可记为( )A．αβl B．MlN C．lMN D．lβαB [根据二面角的记法规则可知B正确．]2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在C [经过l的任一平面都和α垂直．]3．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是．相交、平行或异面 [根据题意，l，m可能相交、平行或异面．]4．如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小等于．90° [∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]二面角的计算问题【例1】 如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACDB13
的余弦值．[解] 如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角ACDB的平面角．设点H是△BCD的重心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，即二面角的余弦值为.1．求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．2．确定二面角的平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．13
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．[证明] 因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.平面与平面垂直的判定【例2】 如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.[证明] (1)法一：(利用定义证明)因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，13
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角ABCS的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝a，BD＝＝a.在Rt△ABD中，AD＝a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.\证明面面垂直常用的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．13
2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.面面垂直性质定理的应用【例3】 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.[证明] 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，13
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.1．证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．3．如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明] ∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD.∴BC⊥平面VAB，又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，13
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用[探究问题]试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．[提示] 垂直问题转化关系如下所示：【例4】 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[思路探究] (1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可．[证明] (1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝＝a.13
又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝＝a，所以DE＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．[解] 如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，在△CEN中，由＝知B为CN中点，∴CB＝BN＝2a.∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线．∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.13
垂直关系的互化及解题策略：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．1．求二面角大小的步骤简称为“一作、二证、三求”．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．3．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( )A．平行 B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]13
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )A．互为余角B．相等C．其和为周角D．互为补角D [画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A．①②B．③④C．②④D．①③D [∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于．45° [根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.]5．如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.[证明] 因为BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，13
所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.13
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