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例1任取一个三位正整数N,则对数log2N是一个正整数的概率是()答案:C解析:三位正整数有100~999,共900个,而满足log2N为正整数的N有27,28,29,共3个,故所求事件的概率为
例2如果有两组牌,它们的牌面数字分别为1,2,3,那么从每组牌中摸出一张牌,两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢?两张牌的牌面数字和为几时概率最大?分析解古典概型问题的关键在于选择正确的基本事件,并能正确地数出基本事件的个数,数事件的个数可以通过列表、树状图、坐标系等使问题变得形象直观.
反思感悟古典概型的解题方法主要有以下两种:(1)采取适当的方法,按照一定的顺序,把试验的所有结果一一列举出来,正确理解基本事件与事件A的关系.应用公式P(A)=计算概率.(2)若所求概率的事件比较复杂,可把它分解成若干个互斥的事件,利用概率的加法公式求解;或求其对立事件,利用对立事件的概率求解.
变式训练1(2019全国Ⅱ高考)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()答案:B解析:设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为,故选B.
变式训练2(2019天津高考)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=.
例3某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A=“只订甲报”,事件B=“至少订一种报”,事件C=“至多订一种报”,事件D=“不订甲报”,事件E=“一种报也不订”,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.分析利用互斥事件、对立事件的定义并结合具体情况,要先弄清楚样本空间中所有的样本点.
解:(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不互斥.(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E在一次试验中有且仅有一个发生,故B与E还是对立事件.(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件B发生时,事件D也可能发生,故B与D不互斥.(4)事件B“至少订一种报”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”,事件C“至多订一种报”中包括“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不互斥.(5)由(4)的分析知,事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.
例4黄种人群中各种血型的人所占的比例如下:已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B型血,若小明因病需要输血,问:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?分析(1)可以输给小明的血是B型或O型,注意解题时要说明事件的互斥;(2)不能输给小明的血型是A型和AB型,此问题中还可以用对立事件的概率来间接求解.
解:(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们是互斥的,由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据互斥事件的加法公式有任找一个人其血可以输给小明的概率:P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A'∪C',且P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.任找一个人其血不能输给小明的概率为0.36.
反思感悟1.互斥事件与对立事件的联系与区别(1)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.(2)对立事件则要同时满足两个条件:一是不可能同时发生;二是必有一个发生.(3)在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生,而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生.(4)对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.2.互斥事件与对立事件的概率计算(1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).3.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.(2)先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P()求解.
变式训练3从四双不同的鞋中任意摸出4只,事件“4只全部成对”的对立事件是()A.至多有两只不成对B.恰有两只不成对C.4只全部不成对D.至少有两只不成对答案:D解析:从四双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成对”,∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”与“4只都不成对”的并事件“至少有两只不成对”,故选D.
变式训练4现有8名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3数学成绩优秀,B1,B2,B3物理成绩优秀,C1,C2化学成绩优秀,从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C1被选中的概率.(2)求A1和B1不全被选中的概率.
解:(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B3,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}.由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等.因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“C1恰被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)}.事件M由9个基本事件组成,因而
例5如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率为()答案:C
反思感悟求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
变式训练5(2019全国Ⅰ,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.答案:0.18解析:前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
变式训练6(2019全国Ⅱ,理18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.(1)证明:X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)解:X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
例7中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.为了传承中华民族优秀传统文化,我市某中学举行“汉字听写”比赛,赛后整理参赛学生的成绩,将学生的成绩分为A,B,C,D四个等级,并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图,但均不完整.
请你根据统计图解答下列问题:(1)参加比赛的学生共有名;(2)在扇形统计图中,m的值为,表示D等级的扇形的圆心角为度;(3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中,选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛.已知A等级学生中男生有1名,请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率.分析(1)根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数;(2)求出等级B的人数,补全条形统计图即可;根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数,根据C等级的人数求出m的值;(3)列表得出所有等可能的情况数,找出一男一女的情况数,即可得出所求的概率.
解:(1)3÷15%=20(人);(3)列表如下所有可能的结果共有6种情况,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,所以
反思感悟1.概率和统计的交汇题在统计方面一般考查简单随机抽样和一些统计的图示,在概率方面一般是归结为古典概型的知识.2.求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的有关知识解决,一般步骤为:(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;(2)判断事件是否为古典概型;(3)选用合适的方法确定基本事件个数;(4)代入古典概型的概率公式求解.
变式训练7(2017北京,文17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30.所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.所以根据分层随机抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
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