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8.5.3 平面与平面平行课后篇巩固提升基础巩固1.下列命题:①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.0答案C解析根据面面平行的性质知①②③正确,故选C.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是( )A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形答案C解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,则BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是( )A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆答案C解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),
则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有( )A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1答案D解析易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误;因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.5.在如图的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗? .(填“是”或“否”) 答案是解析因为侧面AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1,因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1.同理可证:BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以平面ABC∥平面A1B1C1.6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是 .
答案①②③④解析把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.7.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则= . 答案解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',.8.已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.10.如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.求证:平面BCE∥平面ADF.证明∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,又BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,∴∠BAF=∠ABE=45°,∴AF∥BE,又BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,∴BE∥平面ADF.又BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,∴平面BCE∥平面ADF.能力提升1.
如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为( )A.2B.2C.2D.4答案C解析由题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又在正方体中,可得A1E=CE=CF=FA1=,所以四边形A1ECF为菱形.又A1C=2,EF=2,故截面面积为2.2.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题中,正确的有( )A.BM∥平面DEB.CN∥平面AFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF答案ABCD解析展开图可以折成如图①所示的正方体.
图①图②在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴AB正确;图③如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以CD正确.3.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.证明在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB,∴AP∥平面EFG.4.
如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=B1C1.因为BE∥B1C1,且BE=B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB∥GE.因为OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,所以B1D1∥平面BDF.因为HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,所以HD1∥平面BDF.又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.
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