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第八章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知边长为1的菱形ABCD中,A=,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为( ) A.B.C.D.答案D解析在菱形ABCD中,AB=1,A=,则菱形的面积为S菱形ABCD=2S△ABD=2××1×1×sin.所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为S=S菱形ABCD=.2.如图,一圆锥的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为( )A.B.C.πD.π答案C解析圆锥的侧面展开图为扇形,此扇形的半径R=4,设其弧长为l,侧面积为扇形的面积,所以扇形的面积S1=Rl=4π,解得弧长l=2π,所以圆锥的底面周长为2π,由此可知底面半径r=1,所以底面面积为S=π,体高为h=,故圆锥的体积V=Sh=π.3.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°答案C
解析如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=.∵M为A'C的中点,∴MC=AM=,且CM⊥BM,AM⊥BM,∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.∵AC=1,MC=MA=,∴∠CMA=90°,故选C.4.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为( )A.(60+4)πB.(60+8)πC.(56+8)πD.(56+4)π答案A解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2=(60+4)π.故选A.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )A.B.C.D.答案D解析在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.⇒C1E⊥平面BDD1B1,
∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=,C1E=,∴sin∠C1BE=.6.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为( )A.13B.C.12D.15答案A解析如图,连接AD.∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α.在Rt△ABD中,AD==4.在Rt△CAD中,CD==13.7.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为( )A.150°B.60°C.120°D.30°答案D解析如图所示.设BD的中点为O,连接EO,FO,所以EO∥AD,FO∥BC,则∠EOF是AD,BC所成的角或其补角,又EO=AD=1,FO=BC=,EF=,根据余弦定理,得cos∠EOF==-,所以∠EOF=150°,异面直线AD与BC所成的角为30°.
8.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD,PA⊥底面ABCD,AB=2,若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上,则PA的长为( )A.3B.2C.1D.答案C解析连接AC,BD交于点E,取PC的中点O,连接OE,可得OE∥PA.∵PA⊥平面ABCD,∴OE⊥底面ABCD,可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O为球心,设球半径为R,可得R=PC=,可得π·,解得PA=1.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题不正确的是( )A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α答案ABC解析选项A的已知条件中加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列四种说法中正确的是( )A.C1M∥AC
B.BD1⊥ACC.BC1与AC所成的角为60°D.CD与BN为异面直线答案BCD解析由正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1D1和AA1的中点,可知:在A中,AC∥A1C1,A1C1∩C1M=C1,∴C1M与AC是异面直线,故A错误;在B中,∵AC⊥DD1,AC⊥BD,BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,又BD⊂平面BDD1,故BD1⊥AC,故B正确;在C中,AC∥A1C1,BC=A1C1=BA1,∴BC1与AC所成的角为60°,故C正确;在D中,CD∥AB,AB∩BN=B,故CD与BN为异面直线,故D正确.故选BCD.11.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列结论正确的是( )A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直线PD与直线MN所成角的大小为90°D.ON⊥PB答案ABD解析连接BD,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正确;由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又底面为正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由选项A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正确;因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以∠PDC=60°,故直线PD与直线MN所成角的大小为60°,C错误;因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正确.故选ABD.12.
(2020届山东模拟考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则( )A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等答案BC解析∵AD1∥EF,∴平面AEF即平面AEFD1,故A错误.∵A1G∥D1F,A1G⊄AEFD1,∴A1G∥平面AEFD1,故B正确.平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,易知梯形面积为,故C正确.点G到平面AEFM的距离即点A1到面AD1F的距离,显然D错误.故选BC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆柱的高是8cm,表面积是130πcm2,则它的底面圆的半径等于 cm,圆柱的体积是 cm3. 答案5 200π解析设圆柱的底面圆的半径为rcm,则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5cm.圆柱的体积V=52π×8=200π(cm3).14.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是 . 答案平行解析∵EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l⊂α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a⊂平面β,∴EB⊥a.又a⊥AB,EB∩AB=B,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为 .
答案解析设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin60°=.16.(2019全国Ⅲ高考)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g. 答案118.8解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4××2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=×12×3=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在三棱锥A-BCD中,E,H分别是线段AB,AD的中点,F,G分别是线段CB,CD上的点,且.求证:(1)四边形EFGH是梯形;(2)AC,EF,GH三条直线相交于同一点.证明(1)∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴EH∥BD,且EH=BD,又∵,∴FG∥BD,且FG=BD,因此EH∥FG且EH≠FG,故四边形EFGH是梯形.
(2)由(1)知EF,HG相交,设EF∩HG=K,∵K∈EF,EF⊂平面ABC,∴K∈平面ABC,同理K∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,∴K∈AC,故EF和GH的交点在直线AC上.所以AC,EF,GH三条直线相交于同一点.18.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为正三角形,且侧棱垂直于底面.AB=2,AA1=2,从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(1)三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长;(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时的值.解沿侧棱BB1将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开,得到一个矩形BB1B1'B'(如图).(1)矩形BB1B'1B'的长为BB'=6,宽为BB1=2.所以三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长为=2.
(2)由侧面展开图可知,当B,M,C1三点共线时,从B经过M到达C1的路线最短.所以最短路线长为BC1==2.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即=1.所以从B经过M到C1的最短路线长为2,此时的值为1.19.(12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?解(1)若按方案一,仓库的底面直径变成16m,则仓库的体积为V1=S·h=×π××4=(m3).若按方案二,仓库的高变成8m,则仓库的体积为V2=S·h=×π××8=96π(m3).(2)若按方案一,仓库的底面直径变成16m,半径为8m.圆锥的母线长为l1==4(m),则仓库的表面积为S1=π×8×4=32π(m2).若按方案二,仓库的高变成8m.圆锥的母线长为l2==10(m),则仓库的表面积为S2=π×6×10=60π(m2).(3)∵V1
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