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第六章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=( )A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)答案A解析∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4.∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).2.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )A.30°B.45°C.135°D.45°或135°答案B解析由正弦定理,得,则sinB=.因为BC>AC,所以A>B,而A=60°,所以B=45°.3.(2018全国Ⅱ高考)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为( )A.B.C.D.2答案C解析将c2=a2+b2-2abcosC与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S△ABC=absinC=.5.在△ABC中,若其面积为S,且=2S,则角A的大小为( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案A解析因为S=AB·AC·sinA,而=AB·AC·cosA,所以AB·AC·cosA=2AB·AC·sinA,所以tanA=,故A=30°.
6.(2018全国Ⅰ高考)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A.B.C.D.答案A解析如图,=-=-)==)=.7.在△ABC中,AB=,AC=2,若O为△ABC内部的一点,且满足=0,则=( )A.B.C.D.答案C解析由=0可知O为△ABC的重心,于是)·()=)=.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=,C=,则△ABC的面积是( )A.B.C.D.答案D
解析∵sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,sin(B-A)=sinBcosA-cosBsinA,sin2A=2sinAcosA,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,∴2sinBcosA=6sinAcosA.当cosA=0时,A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面积公式,得S=bc=;当cosA≠0时,由2sinBcosA=6sinAcosA,得sinB=3sinA.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cosC==cos,解得a=1,b=3,所以此时△ABC的面积为S=absinC=.综上可得△ABC的面积为,故选D.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列说法错误的是( )A.就是所在的直线平行于所在的直线B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度等于0D.共线向量是在同一条直线上的向量答案ABD解析包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况,故A项错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B项错;按定义,零向量的长度等于0,故C项正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D项错.10.(2019山东济南高一期末)对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是( )A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)答案ACD解析对于A,b=0,命题不成立;对于B,这是平面向量数乘的分配律,显然成立;对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以命题不成立;对于D,如图,若a=,b=,c=,则(a·b)·c与a·(b·c)是一个分别和c,a共线的向量,显然命题(a·b)·c=a·(b·c)不成立.故选ACD.
11.(2019福建高一月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是( )A.若,则△ABC一定是等边三角形B.若acosA=bcosB,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形答案AC解析由,利用正弦定理可得,即tanA=tanB=tanC,即A=B=C,所以△ABC是等边三角形,A正确;由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB,则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;由余弦定理可得cosC=>0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确,故选AC.12.(2019山东烟台高一期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为答案ACD解析因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设(x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;由上可知:c边最大,所以三角形中C角最大,又cosC=>0,所以C角为锐角,所以B错误;由上可知a边最小,所以三角形中A角最小,又cosA=,
所以cos2A=2cos2A-1=,所以cos2A=cosC.由三角形中C角最大且C角为锐角可得:2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=,又sinC=,所以2R=,解得R=,所以D正确.故选ACD.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019全国Ⅲ高考)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos=.答案解析∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|2-a·b=2,∴cos=.14.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60°,则b= ,C= . 答案2 30°解析在△ABC中,因为a=4,c=2,B=60°,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=42+22-2×4×2cos60°=12,所以b=2,又由正弦定理,得sinC=,又由c
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