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新教材人教版高中数学必修第二册分层作业29《直线与直线垂直》(含解析)

2022-08-22
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课时分层作业(二十九) 直线与直线垂直(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2D．3A [①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．]2．如图正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°C [连接BC1、A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]3．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC7 的中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°C [由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有( )A．4条B．6条C．8条D．10条C [如图所示在正方体ABCDA1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角．]5．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )A．60°B．75°C．90°D．105°C [设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则7 B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.]二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．90° [如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.]7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于．5 [取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN7 即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.]8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为．①③ [把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]三、解答题9．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．[解] 如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，7 ∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.10．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD中点．求证：CD1⊥EF.[解] 取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又∵A1A＝AB，7 ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形．且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1.∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.∴CD1⊥EF.[等级过关练]1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )A．0° 查看更多

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