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第六章知识总结及测试思维导图
单元测试一、单选题（每题只有一个选项有正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2020·全国高一课时练习）在矩形中，，，点在对角线上，点
在边上，且，，则（）A．B．4C．D．【答案】C【解析】，所以.故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为A，C，D选项中的两个向量均存在实数使得，所以两向量均共线，故不可作为基底．因为B选项中的两个向量不存在实数使得，所以两向量不共线，所以可以作为一组基底．故B正确．3．（2020·天津河东区·高一期中）已知，，，则（）A．，，三点共线B．，，三点共线C．，，三点共线D．，，三点共线【答案】A【解析】，，，，与共线，
、、三点共线．故选：．4．（2020·全国高一课时练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（）A．B．C．D．12【答案】C【解析】在中，因为，由正弦定理可得：，设，，，且，∴，解得，即，，，且，∴.故选：C.5．（2020·全国高一课时练习）如果向量，，那么()A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】由已知，所以，故选：B．6．（2020·全国高一课时练习）设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则（）
A．2B．-2C．6D．-6【答案】D【解析】因为，故，故，因为，是两个不共线的平面向量，故，解得.故选：D7．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）在中，下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；对于选项B：因为，故，故选项B错误；对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；故选：D8．（2019·陕西省黄陵县中学高一期末）已知为的一个内角，向量.若，则角()A．B．C．D．【答案】C【解析】即,选C.
二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分共4题20分）9．（2020·江苏镇江市·高一期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】∵，整理可得：，可得，∵A为三角形内角，，∴，故A正确，B错误，∵，∴，∵，且，∴，解得，由余弦定理得，解得，故C错误，D正确.故选：AD.10．（2020·全国高一单元测试）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（）A．B．C．D．【答案】AD
【解析】，A选项，，故满足题意D选项，，故满足题意B、C选项中的不与平行故选：AD11．（2020·全国高一课时练习）已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（）A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4D．mn的最大值为2【答案】CD【解析】对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则(1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn(2m•n)()2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.12．（2020·全国高一）对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形B．若A＞B，则sinA＞sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个D．若三角形ABC为斜三角形，则【答案】ABD
【解析】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sinA＞sinB，所以B正确；对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；对于D，因为，所以因为，所以，所以，所以D正确，故选：ABD三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2020·浙江杭州市·高一期末）在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是_______________________【答案】【解析】设外接圆的圆心为，半径为，可得，
M为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径，且的最小值为到边的距离，过作，垂足为，则，的最大值为，最小值为，故的取值范围是.故答案为：.14．（2020·安徽安庆市·桐城市第八中学高一期中）已知向量.若与共线，则在方向上的投影为________.【答案】【解析】∵∴.又∵与共线，∴，∴，∴，∴在方向上的投影为.15．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为________.【答案】【解析】因为，所以，而，当且仅当时等号成立，所以故答案为：.16．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．
【答案】米【解析】由，易得，，设，则，，，．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·深圳市）已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．（1）若∥，，求x的值；
（2）若f（x）•，，求f（x）的最大值及相应x的值．【答案】（1）或（2）的最大值为，此时【解析】（1）∵，，，∴，∴，∴cosx＝0或，即cosx＝0或tanx，∵，∴或；（2）∵，∴，∴，∴，故f（x）的最大值为，此时．18．（2020·全国高一课时练习）的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】（1）因为，所以，得，所以，因为，所以.（2）分三种情况求解：
选择①，因为，由正弦定理得，即的周长，因为，所以，即周长的取值范围是.选择②,因为，由正弦定理得即的周长，因为，所以，所以，
即周长的取值范围是.选择③.因为，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以.即周长的取值范围是.19．（2020·全国高一课时练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）若的面积为，求的值；（2）设，，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，则，的面积为，.因此，；（2），，且，所以，，即，.，.
，，因此，.20．（2020·全国高一课时练习）在中，内角的对边分别为，设平面向量，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求中边上的高.【答案】(1);(2).【解析】（1）因为，所以，即，即，根据正弦定理得，所以，所以；（2）由余弦定理，又，所以，根据△的面积，即，解得，所以中边上的高．21．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，，，，，.
（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，，，，.；（2），，，.22．（2020·全国高一单元测试）已知是平面内两个不共线的非零向量，=，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若，求的坐标；（3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．【答案】（1）；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)．【解析】（1）.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得=k，
即，得.因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得.（2）．（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.设A(x，y)，则，因为，所以解得即点A的坐标为(10，7)．
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