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【新教材】6.2.4向量的数量积(人教A版)第2课时向量的向量积1、理解平面向量的数量积定义与向量的夹角的关系.2、掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用.1.数学抽象:利用数量积定义得到夹角、模长公式;2.逻辑推理:由已知条件求夹角;3.数学运算:求模长,根据向量垂直求参数;4.数学建模:应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题时,综合考虑,层层分析.重点:平面向量数量积的性质与运算律应的应用;难点:对向量数量积概念的应用.一、预习导入 阅读课本17-21页,填写。1.常用公式①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-b)2=a2-2a·b+b2;③(a+b)(a-b)=a2-b2;④(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c.1.设a,b,c为平面向量,有下面几个命题:①a·(b-c)=a·b-a·c;②(a·b)c=a(b·c);③(a-b)2=|a|2-2|a||b|+|b|2;④若a·b=0,则a=0,b=0.其中正确的有__________个.2.已知△ABC中,BC=4,AC=8,∠C=60°,则·=________.3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·=-36,则a与b的夹角为(  )A.60°B.120°C.135°D.1504.已知|a|=3,|b|=4,a与b不共线,则向量a+与a-垂直是,k=________.题型一向量模的有关计算例1 已知|a|=3,|b|=4,向量a与b的夹角θ为120°,求:(1)a·b;(2)(a+b)2;(3)|a+b|;(4)|a-b|.跟踪训练一1、已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________.2、已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________. 题型二两个向量的夹角和垂直例2 (1)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=,则a,b的夹角为(  ) A.   B.   C.   D.(2)已知a,b是非零向量,当a+(t∈R)的模取最小值时,求证:b⊥(a+).跟踪训练二1、已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.2、已知|a|=2,|b|=1,向量a,b的夹角为60°,c=a+5b,d=ma-2b,当m为何值时,c与d垂直.题型三平面向量数量积的综合应用例3已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.跟踪训练三1、已知x=1是方程x2+|a|x+a·b=0的根,且a2=4,〈a,b〉=120°,求向量b的模.1.已知|a|=2,|b|=4,a·b=-4,则向量a与b的夹角为(  )A.30°B.60°C.150°D.120°2.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=(  )A.0B.2C.4D.83.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(  )A.1B.2C.3D.54.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=-4b,c与d垂直,则k的值为________.5.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为________.6.已知|a|=1,a·b=,(a+b)·(a-b)=.(1)求|b|的值;(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值. 答案小试牛刀1.1个.2.-16.3.B.4.自主探究例1 【答案】(1)-6.(2)13.(3).(4).【解析】(1)a·b=|a||b|cosθ=3×4×cos120°=-6.(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=9+2×(-6)+16=13.(3)|a+b|==.(4)|a-b|====.跟踪训练一 【答案】1、.2、3.【解析】1、令e1与e2的夹角为θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=.又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.∵b·(e1-e2)=0,∴b与e1,e2的夹角均为30°,∴b·e1=|b||e1|cos30°=1,从而|b|==.2、∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.例2 【答案】 (1)A.(2)见解析.【解析】 (1) 设a与b的夹角为θ,由题意得(3a-2b)2=7,∴9|a|2+4|b|2-12a·b=7,又|a|=|b|=1,∴a·b=,∴|a||b|cosθ=,即cosθ=.又θ∈[0,π],∴a,b的夹角为.(2)证明 ∵|a+tb|===,∴当t=-=-时,|a+tb|有最小值.此时b·(a+tb)=b·a+tb2=a·b+·|b|2=a·b-a·b=0.∴b⊥(a+tb).跟踪训练二【答案】1、.2、当m=时,c与d垂直.【解析】1、设a与b的夹角为θ,依题意有(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cosθ=-6,所以cosθ=.因为0≤θ≤π,所以θ=.2、由已知得a·b=2×1×cos60°=1. 若c⊥d,则c·d=0.∴c·d=(a+5b)·(ma-2b)=ma2+(5m-2)a·b-10b2=4m+5m-2-10=9m-12=0,∴m=.故当m=时,c与d垂直.例3【答案】见解析.【解析】由已知条件得,即②-①得23b2-46a·b=0,所以2a·b=b2,代入①得a2=b2,所以|a|=|b|,所以cos〈a,b〉===.因为〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=,即a与b的夹角为.跟踪训练三1【答案】3.【解析】因为a2=4,所以|a|2=4,所以|a|=2.把x=1代入方程x2+|a|x+a·b=0,得1+|a|+a·b=0,所以a·b=-3,则a·b=|a||b|cos〈a,b〉=2|b|cos120°=-3,所以|b|=3,即向量b的模为3.当堂检测1-3.DBA4.65. 6.【答案】(1).(2)向量a-b与a+b夹角的余弦值是.【解析】:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=.∵|a|=1,∴1-|b|2=,∴|b|=.(2)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=2,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=1,∴|a+b|=,|a-b|=1.令a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ===,即向量a-b与a+b夹角的余弦值是. 查看更多

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