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第六章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(＋)＋(＋)＋化简后等于( )A．B．C．D．答案 C解析 原式＝＋＋＋＋＝.2．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )A．(2,16)B．(－2，－16)C．(4,16)D．(2,0)答案 A解析 设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝(1，－4)，所以2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，所以所以3．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )A．6B．5C．4D．3答案 C解析 ∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )A．150°B．120°C．60°D．30°答案 B解析 设向量a，b的夹角为θ，则|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，则cosθ
＝－.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积S为( )A．B．C．D．6答案 A解析 由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2·.∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.6．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )A．等腰非直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形答案 C解析 ∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，∴＝－＝(－2，－1)，∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.∴△ABC是直角非等腰三角形．7．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )A．－B．－C．D．答案 B解析 由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又|
|＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.8.如图，已知等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝4，AD＝BC＝，E是DC的中点，点P在线段BC上运动(包含端点)，则·的最小值是( )A．－B．0C．－D．1答案 A解析 由四边形ABCD是等腰梯形可知cosB＝.设BP＝x(0≤x≤)，则CP＝－x.所以·＝(＋)·＝·＋·＝1·x·＋(－x)·x·(－1)＝x2－x.因为0≤x≤，所以当x＝时，·取得最小值－.故选A．9．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )A．kmB．kmC．kmD．km答案 B解析 如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意，知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋
BN2－2MB×BNcos120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝(km)．10．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|＝( )A．B．2C．2D．4答案 B解析 cosθ＝＝＝－，∴sinθ＝，∴|a×b|＝2×2×＝2.11．设0≤θ0，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )A．aB．2aC．3aD．a2答案 D解析 ＝－＝(0，a)－(a,0)＝(－a，a)，∴＝t＝(－at，at)．又＝＋＝(a,0)＋(－at，at)＝(a－at，at)，∴·＝a(a－at)＋0×at＝a2(1－t)(0≤t≤1)．
∴当t＝0时，·取得最大值，为a2.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．答案 (－4，－2)解析 设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝－4，y＝－2.即a＝(－4，－2)．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若·＝·＝1，那么c＝________.答案 解析 由题知，·＋·＝2，即·－·＝·(＋)＝2＝2⇒c＝||＝.15．如图，在正方形ABCD中，已知||＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．答案 4解析 ∵·＝||||·cos∠BAN，||cos∠BAN表示在方向上的投影，又||＝2，∴·的最大值是4.16．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.答案 －2解析 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(－，0)，(，0)，(0,3)．设M点的坐标为(x，y)，则＝(x，y－3)，＝(，－3)，＝(－，－3)，又＝＋，即(x，y－3)＝，可得M，所以＝，＝，所以·＝－2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC．(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为6，求b.解 (1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝＝＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由(1)得B＝，所以△ABC的面积为acsinB＝ac＝6，得ac＝24.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，所以b＝2.18．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC．
(1)以a，b为基底表示向量与；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.解 (1)由已知，得＝＋＝a＋b.连接AF，∵＝＋＝a＋b，∴＝＋＝－b＋＝a－b.(2)由已知，得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×＝－6，从而·＝·＝|a|2＋a·b－|b|2＝×32＋×(－6)－×42＝－.19．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.(1)若＝，求x，y的值；(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．解 (1)若＝，则＝＋，故x＝y＝.(2)若＝3，则＝＋＝＋(－)
＝＋，·＝·(－)＝－2－·＋2＝－×42－×4×2×cos60°＋×22＝－3.20．(本小题满分12分)已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n.(1)若f(x)＝1，求cos的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围．解 由题意，得f(x)＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋.(1)由f(x)＝1，得sin＝，则cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－.(2)已知acosC＋c＝b，由余弦定理，得a·＋c＝b，即b2＋c2－a2＝bc，则cosA＝＝，又因为A为三角形的内角，所以A＝，从而B＋C＝，易知0
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