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直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

2023-08-26
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定义复习回顾线线垂直线面垂直判定定理面面垂直判定定理垂直于同一个平面的两条直线平行符号表示：一.直线和平面垂直的性质定理线面垂直线线平行作用：证明线线平行的一种方法.思考：垂直于同一个平面的两条直线是否平行？一、直线与平面垂直的性质例1如图，已知∩=l,CA⊥于点A，CB⊥于点B,a,a⊥AB.求证：a//l.ABαβCla证明：∵CA⊥，l，∴CA⊥l∵CB⊥，l，∴CB⊥l∵CA⊥lCB⊥lCB∩CA=C∴l⊥平面ABC∵CA⊥，a∴CA⊥a又∵AB⊥a,AB∩CA=A∴a⊥平面ABC又l⊥平面ABC∴a//l一、直线与平面垂直的性质例2、如图，在正方体中，求证：一、直线与平面垂直的性质即若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行.即一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则也垂直于另一个平面.如果两条直线平行，其中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.直线和平面垂直的其它性质：1.设为直线，为平面，若，则与是什么位置关系？2.设为直线，为平面，若，则与是什么位置关系？3.设为直线，为平面，若，则平面与什么位置？一、直线与平面垂直的性质例3、如图，是的直径，点是上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，分别是的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由.BOVACDE 思考：已知平面,,⊥，∩=l，平面内直线a是否与平面垂直？A’ABCDB’C’D’labO平面内直线a何时与平面垂直？二、平面与平面垂直的性质一、面面垂直的性质定理la定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：⊥，∩=l，a,a⊥la⊥即：面面垂直线面垂直一、面面垂直的性质定理例1已知两个平面垂直，下列说法正确的是.（1）一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；（2）一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；（3）一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面；（4）一个平面内必存在一条直线平行于另一个平面；（5）过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面；（6）过一个平面内一点，有且只有一条直线与另一个平面垂直；(2)(4)(6) 二、面面垂直的性质定理的简单应用例2已知平面,,⊥,∩=l,直线a满足a⊥,a，试判断直线a与平面的位置关系.abl解：在平面内作直线b⊥l，∵⊥，∩=l∴b⊥又∵a⊥∴a∥b∵a，b∴a∥ 二、面面垂直的性质定理的简单应用练习1：已知平面,,⊥,∩=l,直线a满足a⊥l,a//，试判断直线a与平面的位置关系.al 二、面面垂直性质定理的简单应用例3三角形PDC所在平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC,证明：BC⊥PD E例4、如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥平面PAC.D 例5：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，BOPAC(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系,并证明.(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明.1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法解题反思面面垂直线面垂直性质定理判定定理2、相互转化定义小结线线垂直线面垂直判定定理面面垂直性质定理判定定理性质定理线线平行面面垂直的性质定理的简单应用探究：已知平面,,满足⊥,⊥,∩=l,求证：l⊥l 练习1：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，（1）求证：AC⊥BD（2）求BD与平面ABC所成的角的大小.ABCDDABCOO折成 2.如图，平面AED⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，（1）求证：EA⊥CDMDECAB（2）若AD＝1，AB＝，求EC与平面ABCD所成的角的大小. 查看更多

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