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第3单元函数概念与性质(基础篇)基础知识讲解1.分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子来表示函数,这种形式的函数叫分段函数.已知一个分段函数在某一区间上的解析式,求此函数在另一区间上的解析式,这是分段函数中最常见的问题.【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法;2、换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;3、消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f(x);另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,关键抓住在不同的段内研究问题.2.函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1>x2 时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤:①取值;②作差;③变形;④确定符号;⑤下结论.利用函数的导数证明函数单调性的步骤:第一步:求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域,若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域.第二步:求函数f(x)的导数f′(x),并令f′(x)=0,求其根.第三步:利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间,并列表.第四步:由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性;求极值、最值.第五步:将不等式恒成立问题转化为f(x)max≤a或f(x)min≥a,解不等式求参数的取值范围.第六步:明确规范地表述结论3.复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成,这种函数先要考虑基本函数的单调性,然后再考虑整体的单调性.平常常见的一般以两个函数的为主.【技巧方法】求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤: (1)确定定义域;(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;(3)分别确定两基本初等函数的单调性;(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.4.奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.【技巧方法】①如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;②若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;③已知奇函数大于0的部分的函数表达式,求它的小于0的函数表达式,如奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x那么当x<0时,﹣x>0,有f(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)⇒﹣f(x)=x2﹣x⇒f(x)=﹣x2+x【偶函数】如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称.【技巧方法】①运用f(x)=f(﹣x)求相关参数,如y=ax3+bx2+cx+d,那么a+c是多少?②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值,如偶函数f(﹣2)=0,周期为2,那么在区间(﹣2,8)函数与x轴至少有几个交点. 5.函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称.【技巧方法】①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;③偶函数:在定义域内一般是用f(x)=f(﹣x)这个去求解;④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反.6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值,得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解.【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法;2、待定系数法;3、凑配法;4、消元法;5、赋值法等.7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义:一般地,函数y=xa(a∈R)叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数.(1)指数是常数; (2)底数是自变量;(3)函数式前的系数都是1;(4)形式都是y=xa,其中a是常数.8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在(0,+∞)上都有各自的定义,并且图象都过点(1,1).(1)当a>0时,幂函数y=xa有下列性质:a、图象都通过点(1,1)(0,0);b、在第一象限内,函数值随x的增大而增大;c、在第一象限内,a>1时,图象开口向上;0<a<1时,图象开口向右;d、函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.(2)当a<0时,幂函数y=xa有下列性质:a、图象都通过点(1,1);b、在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象开口向上;c、在第一象限内,当x从右趋于原点时,图象在y轴上方趋向于原点时,图象在y轴右方无限逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.(3)当a=0时,幂函数y=xa有下列性质:a、y=x0是直线y=1去掉一点(0,1),它的图象不是直线.9.五个常用幂函数的图象和性质(1)y=x;(2)y=x2;(3)y=x3;(4)y=;(5)y=x﹣1 y=xy=x2y=x3y=y=x﹣1定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增x∈(﹣∞,0]时,减增增x∈(0,+∞)时,减x∈(﹣∞,0)时,减公共点(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)10.幂函数的奇偶性(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).(2)如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1),并在[0,+∞)上为增函数.(3)如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.(4)当a为奇数时,幂函数为奇函数,当a为偶数时,幂函数为偶函数.11.函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值.在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低,如何用料最少,如何占地最小等等的问题,这里面就可以转化为求函数的最值问题.另外,最值可分为最大值和最小值.【技巧方法】 这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题,具体的说是转化为函数最值问题,这里面需要同学们要具有转化思维,具有一定的建模能力,在很多高考题中也常常以大题的形式出现,所以务必引起重视.这里我们以具体的例题来讲解.12.根据实际问题选择函数类型【基础知识】1.实际问题的函数刻画在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题,是学习函数的重要内容.【技巧方法】常用到的五种函数模型:①直线模型:一次函数模型y=kx+b(k≠0),图象增长特点是直线式上升(x的系数k>0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx(k>0).②反比例函数模型:y=(k>0)型,增长特点是y随x的增大而减小.③指数函数模型:y=a•bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.④对数函数模型,即y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增长特点是随着自变量的增大,函数值增大越来越慢(底数a>1,m>0).⑤幂函数模型,即y=a•xn+b(a≠0)型,其中最常见的是二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0),其特点是随着自变量的增大,函数值先减小后增大(a>0).在以上几种函数模型的选择与建立时,要注意函数图象的直观运用,分析图象特点,分析变量x的范围,同时还要与实际问题结合,如取整等.习题演练 一.选择题(共12小题)1.已知函数的值域是,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】二次函数的图象是开口向下的抛物线.最大值为,且在时取得,而当或时,.结合函数图象可知的取值范围是.故选:C.2.函数的图象大致为()A.B. C.D.【答案】A【解析】由函数的解析式可得:,则函数为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项CD错误;当时,,选项B错误.故选:A.3.若函数为奇函数,则实数的值为(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】为奇函数当时,又时,本题正确选项:4.已知,则的值为() A.15B.7C.31D.17【答案】C【解析】令,则将代入,得所以,所以.故选:C5.设函数,则()A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为,其关于原点对称,而,所以函数为奇函数.又因为函数在上单调递增,在上单调递增, 而在上单调递减,在上单调递减,所以函数在上单调递增,在上单调递增.故选:A.6.若函数,是定义在上的减函数,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为函数是定义在上的减函数,所以,解得.故选:A.7.幂函数在上为增函数,则实数的值为()A.0B.1C.1或2D.2【答案】D【解析】因为函数是幂函数,所以,解得或, 因为函数在上为增函数,所以,即,,故选:D.8.已知函数,则A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数【答案】A【解析】函数的定义域为,且即函数是奇函数,又在都是单调递增函数,故函数在R上是增函数.故选A.9.下列函数中,满足“对任意,,当时,都有”的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】 根据题意可得,函数在区间单调递增,对A,B,函数在区间单调递减,故A,B错误;对D,函数在区间先增后减,故D错误;故选:C.10.已知关于的方程有两个不等实根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意,画出的图像如下图所示:由图像可知,若方程有两个不等实根则函数图像在轴左侧的最大值大于等于1即可所以即故选:D 11.一元二次方程的两根均大于2,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】关于x的一元二次方程的两根均大于2,则,解得.故选C.12.设奇函数在上是减函数,且,若不等式对所有的都成立,则t的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为奇函数在上是减函数,且, 所以,若不等式对所有的都成立,则,解可得,故选:B一.填空题(共6小题)13.设函数,则________.【答案】【解析】当时,又故答案为:. 14.已知正实数,满足,则的最小值为__________【答案】【解析】解:正实数,满足,,可得.则.令,.即有,又函数在上单调递减,.故答案为:.15.函数为定义在上的奇函数,且满足,若,则__________.【答案】3【解析】,,又为奇函数,是周期为的周期函数, 是定义在上的奇函数,,,.故答案为:3.16.设偶函数满足,则满足的实数的取值范围为________.【答案】【解析】∵偶函数满足,函数在上为增函数,且,∴不等式等价为,,即或,解得或.故答案为:.17.已知函数是幂函数,且该函数是偶函数,则的值是____【答案】1【解析】∵函数是幂函数, ∴,解得或,又∵该函数是偶函数,当时,函数是奇函数,当时,函数是偶函数,即的值是1,故答案为1.18.函数零点的个数为_____________.【答案】2【解析】函数零点的个数,即方程实数根的个数.由,即或由得或.由无实数根.所以函数的零点有2个.故答案为:2三.解析题(共6小题)19.已知函数,试解答下列问题: (1)求的值;(2)求方程=的解.【答案】(1);(2)或【解析】解:(1)函数,所以所以(2)当时,即,解得或(舍去);当时,即,解得;综上所述,或.20.(1)已知是一次函数,且,求的解析式;(2)已知函数,求的解析式.【答案】(1);(2).【解析】解:(1)因为是一次函数,所以可设则,所以,解得, 所以.(2)令,则.因为,所以.故.【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式,换元法求函数解析式,属于常考题型.21.函数对任意的都有,并且时,恒有.(1).求证:在R上是增函数;(2).若解不等式【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1).设,且,则,所以即,所以是R上的增函数.(2).因为,不妨设,所以,即,,所以. ,因为在R上为增函数,所以得到,即.22.已知定义在上的奇函数,当时,.(1)当时,解方程;(2)求在区间上的解析式.【答案】(1);(2).【解析】(1)或(舍)或(舍);故当时,方程无解,即解集为.(2)由题意知:;当时,综上所述,.23.已知幂函数的图像过点.(1)求函数的解析式; (2)设函数在是单调函数,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为的图像过点,所以,则,所以函数的解析式为:;(2)由(1)得,所以函数的对称轴为,若函数在是单调函数,则或,即或,所以实数的取值范围为.24.暑假期间,某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营,推出如下收费标准:若夏令营人数不超过30,则每位同学需交费用600元;若夏令营人数超过30,则营员每多1人,每人交费额减少10元(即:营员31人时,每人交费590元,营员32人时,每人交费580元,以此类推),直到达到满额70人为止.(1)写出夏令营每位同学需交费用(单位:元)与夏令营人数之间的函数关系式;(2)当夏令营人数为多少时,旅行社可以获得最大收入?最大收入是多少?【答案】(1) (2)当人数为45人时,最大收入为20250元【解析】(1)由题意可知每人需交费关于人数的函数:(2)旅行社收入为,则,即,当时,为增函数,所以,当时,为开口向下的二次函数,对称轴,所以在对称轴处取得最大值,.综上所述:当人数为45人时,最大收入为20250元. 查看更多

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