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第3单元函数概念与性质(基础篇)基础知识讲解1.分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子来表示函数,这种形式的函数叫分段函数.已知一个分段函数在某一区间上的解析式,求此函数在另一区间上的解析式,这是分段函数中最常见的问题.【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法;2、换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;3、消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f(x);另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,关键抓住在不同的段内研究问题.2.函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1>x2 时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤:①取值;②作差;③变形;④确定符号;⑤下结论.利用函数的导数证明函数单调性的步骤:第一步:求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域,若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域.第二步:求函数f(x)的导数f′(x),并令f′(x)=0,求其根.第三步:利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间,并列表.第四步:由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性;求极值、最值.第五步:将不等式恒成立问题转化为f(x)max≤a或f(x)min≥a,解不等式求参数的取值范围.第六步:明确规范地表述结论3.复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成,这种函数先要考虑基本函数的单调性,然后再考虑整体的单调性.平常常见的一般以两个函数的为主.【技巧方法】求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤: (1)确定定义域;(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;(3)分别确定两基本初等函数的单调性;(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.4.奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.【技巧方法】①如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;②若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;③已知奇函数大于0的部分的函数表达式,求它的小于0的函数表达式,如奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x那么当x<0时,﹣x>0,有f(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)⇒﹣f(x)=x2﹣x⇒f(x)=﹣x2+x【偶函数】如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称.【技巧方法】①运用f(x)=f(﹣x)求相关参数,如y=ax3+bx2+cx+d,那么a+c是多少?②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值,如偶函数f(﹣2)=0,周期为2,那么在区间(﹣2,8)函数与x轴至少有几个交点. 5.函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称.【技巧方法】①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;③偶函数:在定义域内一般是用f(x)=f(﹣x)这个去求解;④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反.6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值,得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解.【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法;2、待定系数法;3、凑配法;4、消元法;5、赋值法等.7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义:一般地,函数y=xa(a∈R)叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数.(1)指数是常数; (2)底数是自变量;(3)函数式前的系数都是1;(4)形式都是y=xa,其中a是常数.8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在(0,+∞)上都有各自的定义,并且图象都过点(1,1).(1)当a>0时,幂函数y=xa有下列性质:a、图象都通过点(1,1)(0,0);b、在第一象限内,函数值随x的增大而增大;c、在第一象限内,a>1时,图象开口向上;0<a<1时,图象开口向右;d、函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.(2)当a<0时,幂函数y=xa有下列性质:a、图象都通过点(1,1);b、在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象开口向上;c、在第一象限内,当x从右趋于原点时,图象在y轴上方趋向于原点时,图象在y轴右方无限逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.(3)当a=0时,幂函数y=xa有下列性质:a、y=x0是直线y=1去掉一点(0,1),它的图象不是直线.9.五个常用幂函数的图象和性质(1)y=x;(2)y=x2;(3)y=x3;(4)y=;(5)y=x﹣1 y=xy=x2y=x3y=y=x﹣1定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增x∈(﹣∞,0]时,减增增x∈(0,+∞)时,减x∈(﹣∞,0)时,减公共点(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)10.幂函数的奇偶性(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).(2)如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1),并在[0,+∞)上为增函数.(3)如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.(4)当a为奇数时,幂函数为奇函数,当a为偶数时,幂函数为偶函数.11.函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值.在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低,如何用料最少,如何占地最小等等的问题,这里面就可以转化为求函数的最值问题.另外,最值可分为最大值和最小值.【技巧方法】 这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题,具体的说是转化为函数最值问题,这里面需要同学们要具有转化思维,具有一定的建模能力,在很多高考题中也常常以大题的形式出现,所以务必引起重视.这里我们以具体的例题来讲解.12.根据实际问题选择函数类型【基础知识】1.实际问题的函数刻画在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题,是学习函数的重要内容.【技巧方法】常用到的五种函数模型:①直线模型:一次函数模型y=kx+b(k≠0),图象增长特点是直线式上升(x的系数k>0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx(k>0).②反比例函数模型:y=(k>0)型,增长特点是y随x的增大而减小.③指数函数模型:y=a•bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.④对数函数模型,即y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增长特点是随着自变量的增大,函数值增大越来越慢(底数a>1,m>0).⑤幂函数模型,即y=a•xn+b(a≠0)型,其中最常见的是二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0),其特点是随着自变量的增大,函数值先减小后增大(a>0).在以上几种函数模型的选择与建立时,要注意函数图象的直观运用,分析图象特点,分析变量x的范围,同时还要与实际问题结合,如取整等.习题演练 一.选择题(共12小题)1.若函数,则()A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】由题意,函数,可得.故选:B.2.设函数为一次函数,且,则()A.3或1B.1C.1或D.或1【答案】B【解析】设一次函数,则,,,解得或, 或,或.故选:B.3.若函数|在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】,分三种情况讨论.当时,,所以;当时,,在上显然单调;当时,,所以.综上:或.故选B.4.若函数单调递增,则实数a的取值范围是()A.B.C.D. 【答案】B【解析】当时,函数单调递增所以,解得当时,是单调递增函数,所以,当时,一次函数取值要小于或等于指数式的值,所以,解之得:,综上所述:实数a的取值范围是故选:B5.定义在上的奇函数在上单调递减,若,则满足的的取值范围是().A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意,函数为奇函数且在单调递减, 因为,可得,要使不等式成立,即成立,则实数满足,解得,所以实数的取值范围为.故选:D.6.若函数的最小值3,则实数的值为()A.5或8B.或5C.或D.或【答案】D【解析】由题意,①当时,即,,则当时,,解得或(舍);②当时,即,,则当时,,解得(舍)或;③当时,即,,此时,不满足题意,所以或,故选D. 7.已知定义在上的奇函数,对任意实数,恒有,且当时,,则()A.6B.3C.0D.【答案】B【解析】由题得,所以函数的周期为.由题得,,,所以,所以.故选:B.8.满足的实数m的取值范围是(). A.B.C.D.【答案】D【解析】幂函数在为减函数,且函数值为正,在为减函数,且函数值为负,等价于,或或,解得或或,所以不等式的解集为.故选:D.9.已知函数是幂函数且是上的增函数,则的值为(  )A.2B.-1C.-1或2D.0【答案】B【解析】由题意得,故选:B. 10.已知,若为负数,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】,.故选:.11.若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,所以在上也是单调递减,且,,所以当时,,当时,,所以由可得:或或 解得或,所以满足的的取值范围是,故选:D.12.已知函数是定义在上的奇函数,且,当时,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意,函数是定义在上的奇函数,且,可得,所以,所以函数是周期为4的周期函数,又由当时,,则.故选:C.一.填空题(共6小题)13.函数,则______.【答案】1 【解析】根据题意,,则;故答案为1.14.已知定义在上的函数的导函数为,若对于任意都有,且,则不等式的解集为________.【答案】【解析】即为,设函数,则,所以在上单调递减,又因为,所以,不等式可化为,即,所以,故解集为.故答案为:.15.已知函数,函数,则函数的最小值是_______.【答案】0【解析】 解:当时,为单调增函数,则;当时,为单调减函数,所以,所以函数的最小值是0.故答案为:0.16.已知奇函数在定义域上递减,且,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由于是定义在上单调递减的奇函数,所以由,得,所以,解得,所以实数的取值范围是.故答案为:.17.已知函数,则不等式的解集是______.【答案】【解析】 ,故为奇函数,且单调递减,则令,故为奇函数且单调递减,故等价于,即,即,解得故答案为18.已知函数满足,函数,若函数与的图象共有12个交点,记作,则的值为______.【答案】72【解析】因为,所以关于点成中心对称,又因为,所以也关于点成中心对称,所以与的图象的交点也关于点成中心对称,不妨认为,所以有,所以.三.解析题(共6小题)19.已知定义在上的函数. (1)若,求的值;(2)若对于恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1),(2).【解析】(1)当时,;当时,,由可知:, 即,所以有,因为,解得,故;(2)当时,,即,因为,故,因为,所以,则m的取值范围是.20.根据下列条件,求f(x)的解析式.(1)f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9;(2)f(x+1)=x2+4x+1;(3).【答案】(1)f(x)=x+3;(2)f(x)=x2+2x-2;(3) 【解析】(1)解由题意,设f(x)=ax+b(a≠0)∵3f(x+1)-f(x)=2x+9∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,即2ax+3a+2b=2x+9,由恒等式性质,得∴a=1,b=3∴所求函数解析式为f(x)=x+3.(2)设x+1=t,则x=t-1f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1即f(t)=t2+2t-2.∴所求函数解析式为f(x)=x2+2x-2.(3)解,将原式中的x与互换,得.于是得关于f(x)的方程组解得.21.已知定义在上的函数对任意实数都满足,且,当时,. (1)证明:在上是减函数;(2)解不等式【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)因为任意实数都满足,令,则,∵,∴当时,则,∴,∵,∴,即时,恒成立,设任意的,且,则,∴,即在上是减函数,(2),,由(1)知在上为减函数, 得:,故不等式的解集为.22.已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求b的值;(2)判断函数的单调性;(3)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.【答案】(1)1;(2)减函数;(3).【解析】(1)因为是奇函数,所以,即,∴(2)由(1)知,设则因为函数在R上是增函数且,∴又,∴即∴在上为减函数.(3)因是奇函数,从而不等式:等价于,因为减函数,由上式推得: .即对一切有:,从而判别式.23.已知幂函数为偶函数,且在区间上是单调增函数(1)求函数的解析式;(2)设函数,其中.若函数仅在处有极值,求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)在区间上是单调增函数,即又而时,不是偶函数,时,是偶函数,.(2)显然不是方程的根.为使仅在处有极值,必须恒成立,即有,解不等式,得.这时,是唯一极值..24.已知函数. (1)若时,,求的值;(2)若时,函数的定义域与值域均为,求所有值.【答案】(1)(2),【解析】(1)因为,所以所以,所以或,因为,所以.(2)当时,在上单调递减,因为函数的定义域与值域均为,所以,两式相减得不合,舍去.当时,在上单调递增,因为函数的定义域与值域均为,所以,无实数解. 当时,所以函数在上单调递减,在上单调递增.因为函数的定义域与值域均为,所以,.综合所述,,. 查看更多

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