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第3单元函数概念与性质（基础篇）基础知识讲解1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．2．函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2
时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论3．复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【技巧方法】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．4．奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．【技巧方法】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x【偶函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
5．函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．9.五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1
y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．11．函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【技巧方法】
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．12．根据实际问题选择函数类型【基础知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．习题演练
一．选择题（共12小题）1．若函数，则（）A．-1B．0C．1D．2【答案】B【解析】由题意，函数，可得.故选：B.2．设函数为一次函数，且，则（）A．3或1B．1C．1或D．或1【答案】B【解析】设一次函数，则，，，解得或，
或，或.故选：B.3．若函数|在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,分三种情况讨论.当时，，所以；当时，，在上显然单调；当时，，所以.综上：或.故选B.4．若函数单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】B【解析】当时，函数单调递增所以，解得当时，是单调递增函数，所以，当时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，所以，解之得：，综上所述：实数a的取值范围是故选：B5．定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数为奇函数且在单调递减，
因为，可得，要使不等式成立，即成立，则实数满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.6．若函数的最小值3，则实数的值为（）A．5或8B．或5C．或D．或【答案】D【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.
7．已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（）A．6B．3C．0D．【答案】B【解析】由题得，所以函数的周期为.由题得，，，所以，所以.故选：B.8．满足的实数m的取值范围是（）.
A．B．C．D．【答案】D【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负，等价于，或或，解得或或，所以不等式的解集为.故选：D.9．已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为( )A．2B．－1C．－1或2D．0【答案】B【解析】由题意得，故选：B.
10．已知，若为负数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，.故选：.11．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.12．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数是定义在上的奇函数，且，可得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，又由当时，，则.故选：C.一．填空题（共6小题）13．函数，则______．【答案】1
【解析】根据题意，，则；故答案为1．14．已知定义在上的函数的导函数为，若对于任意都有，且，则不等式的解集为________.【答案】【解析】即为，设函数，则，所以在上单调递减，又因为，所以，不等式可化为，即，所以，故解集为.故答案为：.15．已知函数，函数，则函数的最小值是_______.【答案】0【解析】
解：当时，为单调增函数，则；当时，为单调减函数，所以，所以函数的最小值是0.故答案为:0.16．已知奇函数在定义域上递减，且，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由于是定义在上单调递减的奇函数，所以由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.17．已知函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】
，故为奇函数，且单调递减，则令，故为奇函数且单调递减，故等价于，即，即，解得故答案为18．已知函数满足，函数，若函数与的图象共有12个交点，记作，则的值为______.【答案】72【解析】因为，所以关于点成中心对称，又因为，所以也关于点成中心对称，所以与的图象的交点也关于点成中心对称，不妨认为，所以有，所以.三．解析题（共6小题）19．已知定义在上的函数.
（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1),(2).【解析】（1）当时，；当时，,由可知：， 即，所以有，因为，解得，故；（2）当时，，即，因为，故，因为，所以，则m的取值范围是.20．根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）
【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解，将原式中的x与互换，得.于是得关于f(x)的方程组解得.21．已知定义在上的函数对任意实数都满足，且，当时，.
（1）证明：在上是减函数；（2）解不等式【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为任意实数都满足，令，则，∵，∴当时，则，∴，∵，∴，即时，恒成立，设任意的，且，则，∴，即在上是减函数，（2），，由（1）知在上为减函数，
得：，故不等式的解集为.22．已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求b的值；（2）判断函数的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）1；（2）减函数；（3）.【解析】（1）因为是奇函数，所以，即，∴（2）由（1）知，设则因为函数在R上是增函数且，∴又，∴即∴在上为减函数.（3）因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：
.即对一切有：，从而判别式.23．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在区间上是单调增函数，即又而时，不是偶函数，时，是偶函数，．（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立，即有，解不等式，得.这时，是唯一极值．．24．已知函数．
（1）若时，，求的值；（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．【答案】（1）（2），【解析】（1）因为,所以所以,所以或,因为,所以．（2）当时,在上单调递减,因为函数的定义域与值域均为,所以,两式相减得不合,舍去．当时,在上单调递增,因为函数的定义域与值域均为,所以,无实数解.
当时,所以函数在上单调递减,在上单调递增．因为函数的定义域与值域均为,所以,．综合所述,,．
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