资料简介
2.2.4 平面与平面平行的性质1.下列命题中不正确的是( A )(A)两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β(B)平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β(C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线解析:选项A中直线a可能与β平行,也可能在β内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以选项C正确;依据平面与平面平行的性质定理可知,选项B,D也正确,故选A.2.已知两条直线l,m,α,β是两个平面,下列命题正确的是( D )(A)若α∥β,l∥α,则l∥β(B)若l∥α,m∥α,则l∥m(C)若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m(D)若α∥β,l⊂α,则l∥β解析:A,l可能在β内,B,l与m可能相交、平行、异面,C,与B一样的结论.D正确.3.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则①a∥b;②a,b为异面直线;③a,b一定不相交;④a∥b或a,b异面,其中正确的是( C )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①②③④4.下列说法中正确的是( B )(A)夹在两个平行平面间的相等线段必平行(B)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等(C)两个平面分别与第三个平面相交,若两条交线平行,则这两个平面平行(D)平行于同一条直线的两个平面平行
解析:对于A,两线段可能平行,可能相交,也可能异面.对于B,夹在两个平行平面间的平行线段可确定一个平面,此平面与两平行平面的交线互相平行,故可得平行线段与交线所构成的四边形为平行四边形,可知两平行线段长度相等.对于C,两个平面还可能相交,对于D,两个平面还可能相交.故选B.5.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的( C )(A)一个侧面平行(B)底面平行(C)仅一条棱平行(D)某两条相对的棱都平行解析:当平面α∥某一平面时,截面为三角形,故选项A,B错.当平面α∥SA时,如图截面是四边形DEFG,又SA⊂平面SAB,平面SAB∩α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理当α∥BC时,GF∥DE,因为截面是梯形,所以四边形DEFG中仅有一组对边平行,故α仅与一条棱平行.故选C.6.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点.当点A,B分别在α,β内运动时,所有的动点C( D )(A)不共面(B)当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面(C)当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面(D)不论A,B如何移动都共面解析:根据面面平行的性质知,不论点A,B如何运动,动点C均在过C且与α,β都平行的平面上.故选D.7.如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,点E为线段AB上异于A,B的点,点F为线段CD上异于C,D的点,且EF∥DA,沿EF将平面EBCF折起,如图2,则下列结论正确的是( B )
(A)AB∥CD(B)AB∥平面DFC(C)A,B,C,D四点共面(D)CE与DF所成的角为直角解析:在题图2中,因为BE∥CF,BE⊄平面DFC,CF⊂平面DFC,所以BE∥平面DFC.同理AE∥平面DFC.又BE∩AE=E,所以平面ABE∥平面DFC.又AB⊂平面ABE,所以AB∥平面DFC.故选B.8.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A′,B′,C′,若=,则等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:由平面α∥平面ABC,得AB∥A′B′,BC∥B′C′,AC∥A′C′,由等角定理得∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′,∠CAB=∠C′A′B′,从而△ABC∽△A′B′C′,△PAB∽△PA′B′,=()2=()2=,所以=,
又PA=PA′+A′A,所以=,故选D.9.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中过BD1的平面,分别与AA1,CC1交于M,N,则四边形BND1M的形状为 . 解析:由题意知,平面A1ABB1∥平面C1CDD1,所以MB∥D1N,同理,D1M∥BN.所以四边形BND1M是平行四边形.答案:平行四边形10.如图,过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点B1,D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l,则l与B1D1的位置关系为 . 解析:如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,平面B1D1P∩平面ABCD=l,则l∥BD,所以l∥B1D1.答案:平行11.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过P,M,N的平面与棱CD交于Q,则PQ=
. 解析:由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC,所以=,又AC=a,所以PQ=a.答案:a12.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有一点E,F,且B1E=C1F,则直线EF与平面ABCD的位置关系是 . 解析:过E作EG∥AB交BB1于点G,连接GF,则=,因为B1E=C1F,B1A=C1B,所以=.所以FG∥B1C1∥BC.又因为EG∩FG=G,AB∩BC=B,所以平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中,
所以EF∥平面ABCD.答案:平行13.如图所示,已知正三棱柱(底面是正三角形,侧面是矩形)ABCA′B′C′中,D是AA′上的点,E是B′C′的中点,且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置,并给出证明.解:D点为AA′的中点.证明如下:如图,取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC′交于点O,连接DO,易证A′E∥AF,A′E=AF.易知四边形A′EFA为平行四边形.因为A′E∥平面DBC′,A′E⊂平面A′EFA,且平面DBC′∩平面A′EFA=DO,所以A′E∥DO.因为EC′∥BF,则EC′=BF,所以EO=OF.在平行四边形A′EFA中,因为O是EF的中点,所以D点为AA′的中点.14.如图(1),在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥PABCD,如图(2).求证:在四棱锥PABCD中,AP∥平面EFG.证明:在四棱锥PABCD中,因为E,F分别为PC,PD的中点,所以EF∥CD.
因为AB∥CD,所以EF∥AB.因为EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面PAB.因为AP⊂平面PAB,所以AP∥平面EFG.15.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,过其对角线BD1的平面分别与AA1,CC1相交于点E,F,求截面四边形BED1F面积的最小值.解:如图,连接BD,B1D1,由平面与平面平行的性质定理可证BF∥D1E,BE∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形.过E点作EH⊥BD1于H.因为=2·=BD1·EH=EH·a,所以要求四边形BED1F面积的最小值,转化为求EH的最小值.因为AA1∥平面BDD1B1,所以当且仅当EH为直线AA1到平面BDD1B1的距离时,EH最小,易得EHmin=a.所以的最小值为a2.16.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M是平面A1B1C1D1内一点,则BM∥平面ACD1
,且tan∠DMD1的最大值为( D )(A)(B)1(C)2(D)解析:如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,连接A1C1,B1D1,交于点O1,连接BD,交AC于点O,连接BO1,OD1,则A1A∥C1C,且A1A=C1C,所以四边形ACC1A1是平行四边形,所以AC∥A1C1.又AC⊂平面ACD1,且A1C1⊄平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1;同理BO1∥D1O,BO1∥平面ACD1,所以平面ACD1∥平面BA1C1,所以当M在直线A1C1上时,都满足BM∥ACD1;所以tan∠DMD1===是最大值.17.如图,在三棱柱ABCA′B′C′中,点E,F,H,K分别为AC′,CB′,A′B,B′C′的中点,G为△ABC的重心,从K,H,G,B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为( C )
(A)K(B)H(C)G(D)B′解析:若K点为P,因为P(K)F∥C′C,所以P(K)F∥C′C∥A′A∥B′B,则棱柱至少有三条棱与平面PEF平行,故A不正确,若H点为P,因为平面P(H)EF∥平面ABC,所以AC∥平面P(H)EF,AB∥平面P(H)EF,BC∥平面P(H)EF,则棱柱至少有三条棱与平面PEF平行,故B不正确,若G点为P,则棱柱中仅有AB,A′B′与平面PEF平行,故C正确,若B′点为P,因为棱柱中只有AB∥平面PEF,A′B′在平面PEF内,故D不正确.故选C.18.如图,已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C与D,E,F.已知AB=6,=,则AC= . 解析:由题意可知=⇒AC=·AB=×6=15.答案:1519.已知四棱锥PABCD的底面四边形ABCD的对边互不平行,现用一平面α去截此四棱锥,且要使截面是平行四边形,则这样的平面α( C )(A)有且只有一个(B)有四个
(C)有无数个(D)不存在解析:由侧面PAD与侧面PBC相交,侧面PAB与侧面PCD相交,设两组相交平面的交线分别为m,n,由m,n决定的平面为β,作α与β平行且与四条侧棱相交,交点分别为A1,B1,C1,D1,则由面面平行的性质定理得:A1B1∥m∥D1C1,A1D1∥n∥B1C1,从而得截面必为平行四边形.因为平面α可以上下移动,则这样的平面α有无数多个.故选C.20.如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求PD的长;(3)若点P在α与β之间,试在(2)的条件下求CD的长.(1)证明:因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平面,记为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,所以AC∥BD.解:(2)由(1)得AC∥BD,
所以=,即=.所以CD=(cm),所以PD=PC+CD=(cm).(3)同(1)得AC∥BD,所以△PAC∽△PBD.所以=,即=.所以=,所以PD=(cm).所以CD=PC+PD=3+=(cm).
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