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4.2指数函数思维导图 常见考法 考点一指数函数的判断【例1-1】(2019·河北桥西.高一月考)下列函数中指数函数的个数是()①②③④(为常数,,)⑤⑥⑦A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】对①:指数式的系数为2,不是1,故不是指数函数;对②:其指数为,不是,故不是指数函数;对③④:满足指数函数的定义,故都是指数函数;对⑤:是幂函数,不是指数函数;对⑥:指数式的系数为-1,不是1,故不是指数函数;对⑦:指数的底数为-4,不满足底数大于零且不为1的要求,故不是;综上,是指数函数的只有③④,故选:B.【例1-2】(2019·河南中原.高一开学考试)函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数,则a的值为()A.1B.3C.2D.1或3【答案】C 【解析】因为函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数,故可得解得或,当时,不是指数函数,舍去.故选:C.只有形如的函数才是指数函数,系数等于1【一隅三反】1.(2019·山东高三学业考试)函数是指数函数,则()A.或B.C.D.且【答案】C【解析】因为函数是指数函数所以,且,解得.故选:C.2.(2019·呼和浩特开来中学高一期中)若函数是指数函数,则的值为()A.2B.-2C.D.【答案】D【解析】∵函数f(x)=(a﹣3)•ax是指数函数,∴a﹣3=1,a>0,a≠1,解得a=8,∴f(x)=8x,∴f()2,故选:D.3.(2019·辽宁葫芦岛.高一月考)下列函数不是指数函数的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】指数函数是形如(且)的函数.对于A:,系数不是1,所以不是指数函数;对于B:,符合指数函数的定义,所以是指数函数;对于C:,符合指数函数的定义,所以是指数函数;对于D:,符合指数函数的定义,所以是指数函数.故选:A.考点二定义域和值域【例2-1】(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域: (1);(2);(3).【答案】(1)定义域,值域为且;(2)定义域,值域;(3)定义域,值域【解析】(1)要使函数式有意义,则,解得.所以函数的定义域为.因为,所以,即函数的值域为.(2)要使函数式有意义,则,解得,所以函数的定义域为.因为,所以,即函数的值域为.(3)函数的定义域为.因为,所以.又,所以函数的值域为.【例2-2】(2018·湖南开福.高一月考)若函数的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是_____.【答案】(﹣∞,﹣2]【解析】设,若函数的值域为,,则等价于,是值域的子集,,设,则,则,,当对称轴,即时,不满足条件.当,即时,则判别式△,即,则,即实数的取值范围是,.故答案为:, 1.对于y=af(x)这类函数,①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围.②值域问题,应分以下两步求解:ⅰ由定义域求出u=f(x)的值域;ⅱ利用指数函数y=au的单调性或利用图象求得此函数的值域.2.对于y=(ax)2+b·ax+c这类函数,①定义域是R.②值域可以分以下两步求解:ⅰ设t=ax,求出t的范围;ⅱ利用二次函数y=t2+bt+c的配方法求函数的值域.【一隅三反】1.(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域;(1);(2);(3).【答案】(1)定义域为R,值域为;(2),;(3),.【解析】(1)的定义域为R,值域为.(2)由知,故的定义域为;由知,故的值域为.(3)的定义域为;由知,故的值域为.2.(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域与值域.(1)(2)且(3)(4)【答案】(1)定义域为;值域为;(2)定义域为R;值域为(-1,1);(3)定义域为;值域为且;(4)定义域为;值域为. 【解析】(1),解得:,∴原函数的定义域为,令,则∴原函数的值域为(2)原函数的定义域为R.设,则,,,,,即原函数的值域为.(3)由得,所以函数定义域为,由得,所以函数值域为且.(4)由得,所以函数定义域为,由得,所以函数值域为.3.(2020·河北新华.高二期末)若函数的值域为,则a的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】当时,当时,函数的值域为,即故选:B 4.(2020·云南五华.高三其他(理))设函数的定义域为A,函数的值域为B,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】函数定义域满足:,即,所以,函数的值域,所以,故选:A.5.(2019·湖南高一期中)若函数有最大值,则实数的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由于函数有最大值,所以,且当时,取得最大值为,故.故选:D考点三指数函数性质【例3】(1)(2020·贵溪市实验中学高二期末(文))若函数单调递增,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(2)(2019·湖南岳阳楼.高一期中)已知函数,则不等式的解集为(  )A.B.C.D.(3)(2019·湖北襄阳)如果,那么()A.B. C.D.【答案】(1)B(2)B(3)C【解析】(1)函数单调递增,解得所以实数的取值范围是.故选:.(2)可知函数为减函数,由,可得,整理得,解得,所以不等式的解集为.故选B.(3)根据函数在是减函数,且,所以,所以,故选C.11.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清,抓住底数不放松;反正底数大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减;无论函数增和减,图象都过(0,1)点.2.比较幂值大小的三种类型及处理方法【一隅三反】1.(2019·浙江南湖.高一月考)函数为增函数的区间是() A.B.C.D.【答案】C【解析】∵是减函数,在上递增,在上递减,∴函数的增区间是.故选:C.2.(2019·浙江柯城.衢州二中高三一模)已知定义在R上的函数m为实数)为偶函数,记,,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】为偶函数,,,;;;在,上单调递减,并且,,.故选:.3.(2020·浙江高一课时练习)设,,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】,因为函数在定义域上为单调递增函数,所以.故选:D.4.(2020·永安市第三中学高二月考)若关于的方程有解,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D 【解析】由,得(当且仅当时等号成立),解得故选D5(2020·上海高一课时练习)已知函数,则该函数的单调递增区间是__________.【答案】【解析】由题得函数的定义域为.设,函数在单调递减,在单调递增,函数在其定义域内单调递减,所以在单调递增,在单调递减.故答案为:.6.(2020·上海普陀.曹杨二中高一期末)函数的单调递增区间为________【答案】【解析】函数,根据指数函数单调性可得,函数在单调递增,在单调递减,所以函数的单调递增区间为.故答案为:7.(2020·全国高一课时练习)比较下列各题中的两个值的大小.(1),;(2),1;(3),.【答案】(1)(2)(3) 【解析】(1)因为,,又指数函数为增函数,且,所以,即.(2),(3),,所以.考点四定点【例4】(2020·浙江高一课时练习)函数(,且)的图象过定点,则点的坐标为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为的图象恒过点,则的图象恒过点,所以恒过定点.故选.【一隅三反】1.(2019·涡阳县第九中学高二期末)函数的图象必经过点()A.B.C.D.【答案】C【解析】函数的图象过点,而函数的图象是把函数的图象向上平移1个单位,函数的图象必经过的点.故选:.2.(2019·贵州省织金县第二中学高一期中)函数且过定点()A.B.C.D. 【答案】D【解析】令,所以函数且过定点.3.(2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考)函数y=ax﹣1+2(a>0且a≠1)图象一定过点()A.(1,1)B.(1,3)C.(2,0)D.(4,0)【答案】B由x﹣1=0,解得x=1,此时y=1+2=3,即函数的图象过定点(1,3),故选B考点五图像【例5-1】(2020·广东顺德一中高一期中)函数的图像可能是().A.B.C.D.【答案】D【解析】∵,∴,∴函数需向下平移个单位,不过(0,1)点,所以排除A,当时,∴,所以排除B,当时,∴,所以排除C,故选D.【例5-2】(2020·浙江高一课时练习)若函数的图像在第一、三、四象限内,则()A.B.,且C.,且D.【答案】B【解析】因为函数的图像在第一、二象限内, 所以欲使其图像在第三、四象限内,必须将向下移动,因为当时,图像向下移动,只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限,所以只有当时,图像向下移动才可能经过第一、三、四象限,故,因为图像向下移动小于一个单位时,图像经过第一、二、三象限,而向下移动一个单位时,图像恰好经过原点和第一、三象限,所以欲使图像经过第一、三、四象限,则必须向下平移超过一个单位,故,,故选:B.【一隅三反】1.(2019·浙江高一期中)函数与,其中,且,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为函数单调递增,所以排除AC选项;当时,与轴交点纵坐标大于1,函数单调递增,B选项错误;当时,与轴交点纵坐标大于0小于1,函数单调递减;D选项正确.故选:D2.(2020·全国高一课时练习)在如图所示的图象中,二次函数与函数的图象可能是()A.B. C.D.【答案】A【解析】根据选项中二次函数图象,可知,根据选项中指数函数的图象,可知,所以,所以二次函数的对称轴在轴左侧,且,所以可排除B、C、D,只有A符合题意.故选:A.3.(2020·上海高一课时练习)若函数的图像不经过第二象限,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】指数函数过点,则函数过点,若图像不经过第二象限,则,即,故选:D4.(2020·高二期末(理))若直线与函数的图象有两个公共点,则的取值范围是___________【答案】【解析】当时,做出图象,如下图所示,直线与函数的图象有两个公共点时,.故答案为: 查看更多

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