资料简介
模块综合测评(满分：150分，时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A [若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp.故p是q的充分不必要条件．]3．若cosα＝－，sin2α＞0，则tan(π－α)等于( )A．－3 B．3C．－ D.A [∵sin2α＝2sinαcosα＞0，cosα＝－，∴sinα＝－，∴tanα＝＝3，∴tan(π－α)＝－tanα＝－3，故选A.]4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )A．1 B．3C．4 D．8C [根据题意，满足条件的集合B可以为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}中的任意一个．]10
5．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( )A.＞B.＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2A [取a＝－2，b＝－1，则＞不成立．]6．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是( )A．(0,4)B．[0,4)C．(0,4]D．[0,4]D [当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由题意知a＞0且Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.]7．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy( )A．有最大值为1B．有最小值为1C．有最大值为D．有最小值为C [因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．所以xy有最大值，且最大值为.]8．函数f(x)＝x－x的零点个数是( )A．0 B．1C．2 D．3B [函数f(x)＝x－x的零点个数是方程x－x＝0的解的个数，即方程x＝x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.]10
9．若函数y＝a＋sinbx(b＞0且b≠1)的图象如图所示，则函数y＝logb(x－a)的图象可能是( )C [由题图可得a＞1，且y＝a＋sinbx的最小正周期T＝＜π，所以b＞2，则y＝logb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故选C.]10．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为( )A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞aB [a＝log29－log2＝log23，b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3＞，所以b＞a＞c.]11．已知函数①y＝sinx＋cosx，②y＝2sinxcosx，则下列结论正确的是( )A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形10
C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同C [①y＝sin，图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为2π；②y＝sin2x图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为π.故选C.]12．函数y＝sinx与y＝tanx的图象在[－2π，2π]上的交点个数为( )A．3 B．5C．7 D．9B [由得sinx＝tanx，即sinx＝0.∴sinx＝0或1－＝0，即x＝kπ(k∈Z)，又－2π≤x≤2π，∴x＝－2π，－π，0，π，2π，从而图象的交点个数为5.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题p：“∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°”的﹁p是________．∃x0∈{x|x是三角形}，x0的内角和不是180° [因为p是全称量词命题，则﹁p为存在量词命题．]14．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，∁UB∩A＝{9}，则A＝________.{3,9} [由题意画出Venn图，如图所示．10
由图可知，A＝{3,9}．]15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．1024 [当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.]16．已知函数f(x)＝若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是________． [∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，∴f(x)＝－1或f(x)＝－(k≠0)．① ② ③(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，由图象可知f(x)＝－1无解，∴k＝0不符合题意；(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－无解，即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，由图象可知f(x)＝－1有1个实根，∵f((x))－2＝0有3个实根，10
∴f(x)＝－有2个实根，∴1＜－≤3，解得－1＜k≤－.综上，k的取值范围是.]三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.(1)求m的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．[解] (1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0}，关于坐标原点对称，又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．18．(本小题满分12分)已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若﹁q是p的必要条件，求实数m的取值范围．[解] (1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，∵A∩B＝[1,3]，∴m＝4.(2)∵﹁q是p的必要条件∴p是﹁q的充分条件，∴A⊆∁RB，∴m＞6或m＜－4.19．(本小题满分12分)设α，β是锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝－，10
求证：β＝.[证明] 由0＜α＜，0＜β＜，知0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－，故sin(α＋β)＝＝＝.由sinα＝，可知cosα＝＝＝，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝，∴β＝.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a∈N*，c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意x∈[1,2]，都有f(x)≥2mx＋1成立，求实数m的取值范围．[解] (1)∵f(1)＝5，∴5＝a＋c＋2，∴c＝3－a.又6＜f(2)＜11，∴6＜4a＋c＋4＜11，∴－＜a＜.又a∈N*，∴a＝1，c＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋2.(2)设g(x)＝f(x)－2mx－1＝x2－2(m－1)x＋1，x∈[1,2]，则由已知得当m－1≤1，即m≤2时，g(x)min＝g(1)＝4－2m≥0，此时m≤2.当1＜m－1＜2，即2＜m＜3时，g(x)min＝g(m－1)＝1－(m－1)2≥0，此时无解．10
当m－1≥2，即m≥3时，g(x)min＝g(2)＝9－4m≥0，此时无解．综上所述，实数m的取值范围是(－∞，2]．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．[解] (1)由题图得f(0)＝，所以cosφ＝，因为0＜φ＜，故φ＝.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x0＜2，故＜πx0＋＜.由f(x0)＝，得cos＝，所以πx0＋＝，x0＝.(2)因为f＝cos＝cosπx＋＝－sinπx，所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sinπx＝cosπxcos－sinπxsin－sinπx＝cosπx－sinπx＝sin.当x∈时，－≤－πx≤.10
所以－≤sin≤1，故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－22．(本小题满分12分)已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．[解] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，化简得log4＝2kx，log44－x＝－x＝2kx，则有(2k＋1)x＝0.对任意的x∈R恒成立，于是有2k＋1＝0，k＝－.(2)∵f(x)＝log4(4x＋1)－x，f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，∴log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)，即(1－a)(2x)2＋a·2x＋1＝0有唯一实根．令t＝2x，则关于t的方程(1－a)t2＋at＋1＝0有唯一的正根．①当1－a＝0即a＝1时，方程(1－a)t2＋at＋1＝0，则t＋1＝0，即t＝－1，不符合题意．②当1－a≠0即a≠1时，Δ＝a2－4(1－a)＝a2＋4a－4＝(a＋2)2－8.若Δ＝0，则a＝－2±2，此时，t＝.当a＝－2＋2时，则有t＝＜0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，不符合题意；当a＝－2－2时，则有t＝＞0，且a·2x－a＝a(t－1)＝10
a·＝＞0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个相等的正根，符合题意．若Δ＞0，则方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个不相等的实根，则只需其中有一正根即可满足题意．于是有由此解得a＞1.综上所述，a＞1或a＝－2－2.10
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