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北师大版2021年数学九年级下册《二次函数》单元测试二一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中是二次函数的是( )A．y=3x－1B．y=3x2－1C．y=(x＋1)2－x2D．y=2．对于二次函数y=3(x－2)2＋1的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x=－2C．顶点坐标是(2，1)D．与x轴有两个交点3．抛物线y=x2－1可由下列哪一个函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到？( )A．y=(x－1)2＋1B．y=(x＋1)2＋1C．y=(x－1)2－3D．y=(x＋1)2＋34．二次函数y=x2－2x＋1的图象与x轴的交点个数是( )A．0B．1C．2D．35．若A，B，C为二次函数y=x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y26．函数y=ax＋b和y=ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象可能是( )7．已知函数y=x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是( )A．－1＜x＜4B．－1＜x＜3C．x＜－1或x＞4D．x＜－1或x＞38．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h=30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6sB．4sC．3sD．2s9．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是( ) 二、填空题(每题3分，共24分)11．抛物线y=－x2＋15有最________点，其坐标是________．12．函数y=x2＋2x＋1，当y=0时，x=______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________．(填“增大”或“减小”)13．如图，二次函数y=x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．14．已知抛物线y=ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c=0的根为________．15．如图，已知二次函数y1=ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2=kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．
16．抛物线y=x2－2x＋3关于x轴对称的抛物线对应的函数表达式为__________________．17．如图是一个横断面为抛物线型的拱桥，当水面宽4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为________．18．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b=0；②a＋c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0.其中正确的结论是________(填写序号)．三、解答题(19题10分，20题12分，21，22题每题14分，23题16分，共66分)19．如图，已知二次函数y=ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．
20．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为xs，△PBQ的面积为ycm2.(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的最大面积．(第20题)21．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m，那么水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线对应的函数表达式；(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6m的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6m的长方体货物(货物与货船同宽)，此船能否顺利通过这座拱桥？
22．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围内，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)的关系是y1=170－2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．(1)直接写出y2与x之间的函数表达式．(2)求月产量x的范围．(3)当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？最大月利润是多少？(第22题)23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=－2x－1与y轴交于点A，与直线y=－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．
答案一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.D6．C 7.B 8.A 9.C 10.A二、11.高；(0，15)12．－1；增大 13.1514．x1=－1，x2=315．x＜－2或x＞816．y=－x2＋2x－317．2m 18.①④三、19.解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入，得解得∴该二次函数的表达式为y=x2－4x－6.∵y=x2－4x－6=(x－2)2－10，∴该抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，－10)．(2)∵点P(m，m)在该函数的图象上，∴m2－4m－6=m.∴m1=6，m2=－1.∴m的值为6或－1.20．解：(1)∵S△PBQ=PB·BQ，PB=AB－AP=(18－2x)cm，BQ=xcm，∴y=(18－2x)x.即y=－x2＋9x(0＜x≤4)．(2)由(1)知y=－x2＋9x，∴y=－＋.
∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2.21．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y=ax2.∵抛物线关于y轴对称，AB=20m，CD=10m，∴点B的横坐标为10，点D的横坐标为5.设点B(10，n)，则点D(5，n＋3)．将B，D两点的坐标分别代入表达式，得解得∴y=－x2.(2)当x=3时，y=－×9=－.∵点B的纵坐标为－4，又|－4|－=3.64>3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．22．解：(1)y2与x之间的函数表达式为y2=500＋30x.(2)依题意，得解得25≤x≤40.(3)设这种设备的月利润为w元，则w=xy1－y2=x(170－2x)－(500＋30x)=－2x2＋140x－500，∴w=－2(x－35)2＋1950.∵25
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