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北师大版2021年数学九年级下册《二次函数》单元测试四评卷人得分一、选择题(每小题4分,共10小题,满分40分)每题有A、B、C、D四个选项,只有一个是正确的,请把正确的选项填写在题的括号内.1.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过(  )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限2.函数y=与y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(  )A.B.C.D.3.关于二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象,下列说法中错误的是(  )A.当x<2,y随x的增大而减小B.函数的对称轴是直线x=1C.函数的开口方向向上D.函数图象与y轴的交点坐标是(0,﹣3)4.如图,若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为(  )A.B.C.D.5.如图所示是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象,则a的值是(  )A.a=﹣1B.a=C.a=1D.a=1或a=﹣1 6.抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位,再向上平移2个单位,所得图象的解析式为y=x2+bx+c,则b、c的值为(  )A.b=2,c=2B.b=2,c=﹣1C.b=﹣2,c=﹣1D.b=﹣3,c=27.根据下列表格对应值:x345y=ax2+bx+c0.5﹣0.5﹣1判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是(  )A.x<3B.x>5C.3<x<4D.4<x<58.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是x=﹣1,且过点(﹣3,0),下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(3,y2)是抛物线上两点,则y1<y2,其中说法正确的是(  )A.①②B.②③C.①②④D.②③④9.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(  )A.﹣1<x<5B.x>5C.x<﹣1且x>5D.x<﹣1或x>510.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=﹣1,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线l上的点,且﹣1<x1<x2,x3<﹣1,则y1、y2、y3的大小关系为(  )A.y1<y2<y3B.y3<y1<y2C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3 评卷人得分二、填空题(每小题5分,共4小题,满分20分)请把正确的答案填写在横线上.11.二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是  .12.抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点,则AB的长为  .13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是  .14.如图,抛物线y=﹣(x+1)(x﹣3)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为该抛物线的对称轴上一点,当点D到直线BC和到x轴的距离相等时,则点D的坐标为 .评卷人得分三、解答题(共8小题,满分90分)15.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).(1)求b、c的值;(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴. 16.如图,二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣4,0).(1)求二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.17.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式;(2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围. 18.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米,现在O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求出这条抛物线的函数解析式;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D点在抛物线上,B、C点在地面OM上.为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.19.已知某种产品的进价为每件40元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查发现,该产品每降价1元,每星期可多卖出20件,由于供货方的原因销量不得超过380件,设这种产品每件降价x元(x为整数),每星期的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)该产品销售价定为每件多少元时,每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)该产品销售价在什么范围时,每星期的销售利润不低于6000元,请直接写出结果. 20.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标;(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标.21.如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣2,0),B(4,0)与y轴交于点C.(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;(Ⅱ)求△BCD的面积;(Ⅲ)若直线CD交x轴与点E,过点B作x轴的垂线,交直线CD与点F,将抛物线沿其对称轴向上平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度(直接写出结果,不写求解过程). 22.如图,已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,交正x轴于点D,E是OC上的动点(不与C重合)连接EB,过B点作BF⊥BE交y轴与F(1)求b,c的值及D点的坐标;(2)求点E在OC上运动时,四边形OEBF的面积有怎样的规律性?并证明你的结论;(3)连接EF,BD,设OE=m,△BEF与△BED的面积之差为S,问:当m为何值时S最小,并求出这个最小值.23.如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;(2)小球的落点是A,求点A的坐标;(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标. 参考答案1.【答案】C.解析:∵抛物线的顶点在第四象限,∴﹣m>0,n<0,∴m<0,∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限,故选C.2.【答案】B.解析:由解析式y=﹣kx2+k可得:抛物线对称轴x=0;A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上;本图象与k的取值相矛盾,故A错误;B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象符合题意,故B正确;C、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误;D、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故D错误.故选B.3.【答案】A.解析:∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,当x<1时y随x的增大而减小,故B、C正确,A不正确,令x=0可得y=﹣3,∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,﹣3),故D正确,故选A.4.【答案】B.解析:∵a<0,∴抛物线的开口方向向下,故第三个选项错误;∵c<0,∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上,故第一个选项错误;∵a<0、b>0,对称轴为x=>0,∴对称轴在y轴右侧,故第四个选项错误.故选B.5.【答案】C.解析:由图象得,此二次函数过原点(0,0),把点(0,0)代入函数解析式得a2﹣1=0,解得a=±1;又因为此二次函数的开口向上,所以a>0;所以a=1.故选C.6.【答案】B 解析:y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,图象向左平移2个单位,再向上平移2个单位,所得图象的解析式为y=(x﹣1+2)2﹣4+2=(x+1)2﹣2=x2+2x﹣1,则b=2,c=﹣1,故选B.7.【答案】C解析:∵x=3时,y=0.5,即ax2+bx+c>0;x=4时,y=﹣0.5,即ax2+bx+c<0,∴抛物线与x轴的一个交点在(3,0)和(4,0)之间,∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3<x<4.故选C.8.【答案】A解析:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1,∴b=2a>0,则2a﹣b=0,所以②正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc<0,所以①正确;∵x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,所以③错误;∵点(﹣5,y1)离对称轴的距离与点(3,y2)离对称轴的距离相等,∴y1=y2,所以④不正确.故选A.9.【答案】D.解析:由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),∴图象与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0).利用图象可知:ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,∴x<﹣1或x>5.故选D.考点:二次函数利用图象.10.【答案】D.解析:对称轴为直线x=﹣1,且﹣1<x1<x2,当x>﹣1时,y2<y1,又因为x3<﹣1,由一次函数的图象可知,此时点P3(x3,y3)在二次函数图象上方,所以y2<y1<y3.故选D.11.【答案】5.解析:y=x2﹣2x+6=x2﹣2x+1+5=(x﹣1)2+5,可见,二次函数的最小值为5.12.【答案】1.解析:当y=0,则0=x2﹣5x+6, 解得:x1=2,x2=3,故AB的长为:3﹣2=1.13.【答案】0或1①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.根据题意得:△=4﹣4m=0,解得:m=1.14.【答案】(1,)或(1,﹣2).解析:如图所示:∵抛物线y=﹣(x+1)(x﹣3)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,∴当﹣(x+1)(x﹣3)=0时,x=﹣1,或x=3,当x=0时,y=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),对称轴x=1,∴BM=3﹣1=2,当点D到直线BC和到x轴的距离相等时,点D在∠ABC或∠ABE的平分线上,①点D在∠ABC的平分线上时,∵tan∠ABC==,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=30°,∴DM=BM=,∴D(1,); ②点D在∠ABE的平分线上时,∠ABE=180°﹣60°=120°,∴∠ABD=60°,∴DM=BM=2,∴D(1,﹣2).15.【答案】(1);(2)顶点坐标为(2,﹣1),对称轴为直线x=2解析:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0),∴,解得;(2)∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1.∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,﹣1),对称轴为直线x=2考点:1.待定系数法求二次函数解析式;2.二次函数的性质.16.【答案】(1)y=﹣x2﹣4x;(2)(﹣2,4)、(﹣2+2,﹣4)、(﹣2﹣2,﹣4).解析:(1)由已知条件得,解得,所以,此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x;(2)∵点A的坐标为(﹣4,0),∴AO=4,设点P到x轴的距离为h,则S△AOP=×4h=8,解得h=4,①当点P在x轴上方时,﹣x2﹣4x=4,解得x=﹣2,所以,点P的坐标为(﹣2,4),②当点P在x轴下方时,﹣x2﹣4x=﹣4,解得x1=﹣2+2,x2=﹣2﹣2,所以,点P的坐标为(﹣2+2,﹣4)或(﹣2﹣2,﹣4),综上所述,点P的坐标是:(﹣2,4)、(﹣2+2,﹣4)、(﹣2﹣2,﹣4). 17.【答案】(1)b=2,c=3,y=﹣x2+2x+3.(2)﹣1<x<3解析:(1)将点(﹣1,0),(0,3)代入y=﹣x2+bx+c中,得,解得.∴y=﹣x2+2x+3.(2)令y=0,解方程﹣x2+2x+3=0,得x1=﹣1,x2=3,抛物线开口向下,∴当﹣1<x<3时,y>0.18.【答案】(1)M(12,0),P(6,6);(2)y=x2+2x;(3)15米.解析:(1)M(12,0),P(6,6)(2)∵顶点坐标(6,6)∴设y=a(x﹣6)2+6(a≠0)又∵图象经过(0,0)∴0=a(0﹣6)2+6∴a=∴这条抛物线的函数解析式为y=(x﹣6)2+6,即y=x2+2x;(3)设A(x,y)∴A(x,(x﹣6)2+6)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC=(x﹣6)2+6,根据抛物线的轴对称性,可得:OB=CM=x,∴BC=12﹣2x,即AD=12﹣2x,∴令L=AB+AD+DC=2[(x﹣6)2+6]+12﹣2x=x2+2x+12=(x﹣3)2+15.∴当x=3,L最大值为15∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米.19.【答案】(1)w=﹣20x2+100x+6000,x≤4,且x为整数;(2)当定价为57或58元时有最大利润6120元;(3)售价不低于56元且不高于60元时,每星期利润不低于6000元.解析:(1)w=(20﹣x)(300+20x)=﹣20x2+100x+6000,∵300+20x≤380,∴x≤4,且x为整数;(2)w=﹣20x2+100x+6000=﹣20(x﹣)2+6125,∵﹣20(x﹣)2≤0,且x≤4的整数,∴当x=2或x=3时有最大利润6120元,即当定价为57或58元时有最大利润6120元;(3)根据题意得: ﹣20(x﹣)2+6125≥6000,解得:0≤x≤5.又∵x≤4,∴0≤x≤4答:售价不低于56元且不高于60元时,每星期利润不低于6000元.20.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3.(2)对称轴x=1,顶点坐标(1,﹣4).(3)点P在该抛物线上滑动到(1+2,4)或(1﹣2,4)或(1,﹣4)时,满足S△PAB=8.解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3,∴﹣1+3=﹣b,﹣1×3=c,∴b=﹣2,c=﹣3,∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3.(2)∵y=﹣x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的对称轴x=1,顶点坐标(1,﹣4).(3)设P的纵坐标为|yP|,∵S△PAB=8,∴AB•|yP|=8,∵AB=3+1=4,∴|yP|=4,∴yP=±4,把yP=4代入解析式得,4=x2﹣2x﹣3,解得,x=1±2,把yP=﹣4代入解析式得,﹣4=x2﹣2x﹣3,解得,x=1,∴点P在该抛物线上滑动到(1+2,4)或(1﹣2,4)或(1,﹣4)时,满足S△PAB=8.21.【答案】(Ⅰ)抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣1)2+9,顶点D(1,9);(Ⅱ)6;(Ⅲ)72.解析:(Ⅰ)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得:,解得,∴抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣1)2+9,顶点D(1,9);(Ⅱ)如图1, ∵抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+8,∴C(0,8),∵B(4,0),∴直线BC解析式为y=﹣2x+8,∴直线和抛物线对称轴的交点H(1,6),∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=×3×1+×3×3=6.(Ⅲ)如图2,∵C(0,8),D(1,9);代入直线解析式y=kx+b,∴,解得:,∴y=x+8,∴E点坐标为:(﹣8,0),∵B(4,0),∴x=4时,y=4+8=12∴F点坐标为:(4,12),设抛物线向上平移m个单位长度(m>0),则抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣1)2+9+m; 当x=﹣8时,y=m﹣72,当x=4时,y=m,∴m﹣72≤0或m≤12,∴0<m≤72,∴抛物线最多向上平移72个单位.22.【答案】(1)b=,c=2;D点坐标为(3,0).(2)点E在OC上运动时,四边形OEBF的面积不变;(3)当m=2﹣时S最小为0.解析:(1)把点A(0,2)、B(2,2)代入抛物线y=x2+bx+c得解得b=,c=2;∴y=x2+x+2;令x2+x+2=0解得x1=﹣1,x2=3∴D点坐标为(3,0).(2)点E在OC上运动时,四边形OEBF的面积不变;∵四边形OABC是正方形∴AB=BC,∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°又∵BF⊥BE∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠CBE∴△ABF≌△BCE∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积.(3)如图,可以看出S△BEF=S梯形OCBF﹣S△OEF﹣S△BEC=(2+2+m)×2﹣m(2+m)﹣(2﹣m)×2=﹣m2+m+2 S△BED=×(3﹣m)×2=3﹣m两个三角形的面积差最小为0,即3﹣m=﹣m2+m+,解得m=2±,∵E是OC上的动点∴m=2﹣,当m=2﹣时S最小为0.23.【答案】(1)最高点P的坐标为(2,4);(2)点A的坐标为(,);(3);(4)点M的坐标为(,).解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4);(2)联立两解析式可得:,解得:,或.故可得点A的坐标为(,);(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣××=4+﹣=;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积. 设直线PM的解析式为y=x+b,∵P的坐标为(2,4),∴4=×2+b,解得b=3,∴直线PM的解析式为y=x+3.由,解得,,∴点M的坐标为(,). 查看更多

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