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1.3.2 球的体积和知识导图学法指导1.球心和球的半径是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置，知道了球的半径就可求出球的体积和表面积．2．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决．高考导航高考考查球的题型有：(1)计算球的表面积或体积；(2)求球与其他简单几何体的组合体的表面积或体积．常以选择题或填空题的形式出现，难度较低，分值5分.知识点 球的表面积与体积公式1.一个关键掌握好球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3-12-
是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．掌握好公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之比为1：9.( )(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )答案：(1)√ (2)√2．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为( )A．8：27B．2：3C．4：9D．2：9解析：：＝8：27，∴r：R＝2：3，∴S1：S2＝4：9.答案：C3．一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24，则球心到直线的距离为( )A．13B．12C．5D．24解析：如图所示，d＝＝5.答案：C4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.答案：14π-12-
类型一 球的体积与表面积例1 (1)球的体积是，则此球的表面积是( )A．12πB．16πC.D.(2)圆柱形玻璃容器内盛有高度为12cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.【解析】 (1)设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.(2)设球半径为rcm，则由3V球＋V水＝V圆柱可得3×πr3＋πr2×12＝πr2×6r，解得r＝6.故球的半径是6cm.【答案】 (1)B (2)6,利用球的体积公式先求半径R，再利用球的表面积公式求解．-12-
方法归纳计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征及半径的平方．必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式．同时还应注意体积公式V球＝πR3中系数的特征及半径的立方．注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠．,跟踪训练1 (1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的( )A．2倍 B．2倍 C.倍 D．3倍(2)一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为( )A.B.C.D.解析：(1)设改变前、后球的半径分别是r，r′，则由条件可知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝r，V′＝＝2×.(2)S表＝πr2＋2πr2＝1，∴r＝.答案：(1)B (2)C先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比．类型二 球的截面问题例2 (1)一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个圆面的距离是2cm，则该球的体积是( )A．12πcm3 B．36πcm3 C．64πcm3 D．108πcm3(2)已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，则这个球的表面积为________．【解析】 (1)设球心为O，截面圆的圆心为O1，如图所示，连接OO1，则OO1-12-
垂直于截面圆O1.在Rt△OO1A中，O1A＝cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．(2)如图所示，设以r1为半径，O1为圆心的截面圆的面积为5π，以r2为半径，O2为圆心的截面圆的面积为8π，球的半径为R，OO2＝x，则O1O2＝1.在Rt△OO2A中，OA＝R，OO2＝x，O2A＝r2，则r＝R2－x2，∴πr＝π(R2－x2)＝8π，即R2－x2＝8 ①.在Rt△OO1B中，OB＝R，OO1＝x＋1，O1B＝r1，则r＝R2－(x＋1)2，∴πr＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，即R2－(x＋1)2＝5 ②.由①②得x＝1，R＝3.∴球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】 (1)B (2)36π(1)作经过球心和截面圆圆心的轴截面；(2)作截面图时，注意两个截面在圆心的同一侧，构成两个直角三角形，再求解．方法归纳球的截面问题的解题方法对于球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决．球的半径R，球心到截面的距离d，截面圆的半径r恰好构成直角三角形，利用三个量之间的关系d2＝R2－r2，可知二求一．跟踪训练2 球面上有三个点A，B，C，其中AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为( )A．20B．30C．10D．15解析：平面ABC截球所得的截面是一个圆面，A，B，C三点在这个圆面的圆上，∵AB＝18，BC＝24，AC＝30，∴AC2＝AB2＋BC2，∴AC为这个圆的直径．设AC的中点为M，球心为O，球的半径为R，则M为截面圆的圆心，MA为其半径，-12-
在Rt△OMA中，∠OMA＝90°，OM＝R，MA＝AC＝×30＝15，OA＝R，由勾股定理得(R)2＋152＝R2，解得R＝10.答案：C先证明三角形ABC是直角三角形，AC是斜边，设AC的中点为M，则M为截面圆的圆心，MA为其半径，求出MA，找到OM与球半径的关系，利用勾股定理求出球半径即可．,类型三 内切球与外接球问题例3 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36π B．64π C．144π D．256π【解析】 如图，设球的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝R2.因为VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO－ABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO－ABC最大为×R2×R＝36，所以R＝6.所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×62＝144π.故选C.【答案】 C解题时要认真分析图形，明确切点、接点的位置，作出合适的辅助图形，确定有关元素间的位置和数量关系．方法归纳(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．-12-
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．跟踪训练3 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A．πB.C.D.解析：如图所示，由题可知球心在圆柱的中心处，球的半径R＝1，圆柱的高h＝1，则圆柱上、下底面圆的半径r＝＝，则圆柱的体积V＝πr2h＝.故选B.答案：B先确定圆柱上、下底面圆的半径，然后再求该圆柱的体积.1.3.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为( )A．1：9 B．1：27C．1：3D．1：1解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，∵r1：r2＝1：3，∴S1：S2＝4πr：4πr＝r：r＝1：9.故选A.答案：A2．[2019·安徽省合肥市检测]平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α-12-
的距离为，则此球的体积为( )A.πB．4πC．4πD．6π解析：球的半径R＝＝，所以球的体积V＝π×()3＝4π.答案：B3．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则大球与小球的半径之差是( )A．1B．2C．3D．4解析：设大球半径为R，小球半径为r，所以得，所以R－r＝2－1＝1.答案：A4．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A．8πB．6πC．4πD．π解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a3＝8，∴a＝2，∴正方体的内切球直径为2，r＝1，∴内切球的表面积S＝4πr2＝4π.答案：C5．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为( )A．44B．54C．88D．108解析：由题意知，球的半径R＝，故球的体积为πR3＝π·＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×(6×4＋4×2＋6×2)＝88.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，三棱锥P－ABC的体积为________．解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝.答案：-12-
7．把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.解析：设大铁球的半径为Rcm，由πR3＝π×3＋π×3＋π×3，得R3＝216，得R＝6.答案：68．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.解析：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝(R－1)cm，则(R－1)2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．答案：5 100π三、解答题(每小题10分，共20分)9．若三个球的表面积之比为1：4：9，求这三个球的体积之比．解析：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，∵三个球的表面积之比为1：4：9，∴4πR：4πR：4πR＝1：4：9，即R：R：R＝1：4：9，∴R1：R2：R3＝1：2：3，∴V1：V2：V3＝πR：πR：πR＝R：R：R＝1：8：27.10．已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积．-12-
解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′，因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为正三角形ABC的中心，且AO′＝AB＝cm.设球的半径为R，则OO′＝R.由球的截面性质，知△OO′A为直角三角形，所以AO′＝＝＝R，所以R＝2cm.所以V球＝πR3＝π(cm3)．[能力提升](20分钟，40分)11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A．πB.C.D.解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝＝.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.答案：B12．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为________．-12-
解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得解得所以球的半径R＝＝.所以S球＝4πR2＝9π.答案：9π13．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解析：设正方体棱长为a，三个球的半径依次为R1，R2，R3，则有2R1＝a，R1＝，a＝2R2，R2＝a，a＝2R3，R3＝a，所以R1：R2：R3＝1：：.所以S1：S2：S3＝R：R：R＝1：2：3.即这三个球的表面积之比为1：2：3.14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥内切球的体积．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，所以R3＝729，R＝9，所以SE＝18.又因为SD＝16，所以ED＝2.连接AE，因为SE是直径，所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，所以SA＝12.因为AB⊥SD，所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4.所以S圆锥侧＝π×4×12＝96π.(2)设内切球O1的半径为r，因为△SAB的周长为2×(12＋4)＝32，所以S△SAB＝r×32＝×8×16，所以r＝4.-12-
所以内切球O1的体积V球＝πr3＝π.-12-
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