资料简介
训练案一刻能提升活学巧练跟踪验证［学生用书单独成册］）［A.基础达标］1.用一平面去截体积为443兀的球，所得截面的面积为兀，则球心到截面的距离为（）A.2B.>/3C.V2D.1解析：选C.由已知得球的半径为R=?/3,又rr2=兀，所以r=1,所以d=^R2—r2=y［2.2.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）主视图左视图A.9兀+42C.2兀+12俯视图B.36%+18D.97t+18解析：选D.由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体.其中,V球=4兀,(2)3=92^，v长方体=2X3X3=18.所以V总=9兀+18.3.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是4的两个全等的等腰（）A.12兀C.32兀B.24兀D.48兀解析：选D.由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为4,该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为473,即球的半径为25，所以该球的表面积是4兀（203）2=48兀.4.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是73X4=
主播图左视圉4亚仅A.27解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为面体外接球半径为手1的正四面体P-CDE,我们容易求得该正四所以外接球的体积v=3兀-^46：="8兀6.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为43,乖，麻，则它的外接球的表面积为解析：如图所示为过长方体的一条体对角线AB的截面.俯视剧A.9兀A.1071B.11兀D.12兀解析：选D.由三视图可知该几何体上面是个球，下面是个圆柱，由已知数据得表面积S=S球+S圆柱=4兀X12+2兀X12+2兀X1X3=127t.5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,/DAB=60°,£为人8的中点，将△ADE与ABEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）C.fxy=V3,设长方体中有公共顶点的三条棱的长分别为x,v,z,则由已知有yyz=粥，解得zx=VT5,（x=V3,Vy=1,所以球的半径R=2AB=2\/x2+y2+z2=3.z=5,所以S球=4兀R2=9兀.答案：9兀7.一个圆柱的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、球的体积之比为解析：设球的半径为R,则由已知得
V圆柱=兀r2,2R=2兀R3,V球=4兀R3,3所以，V圆柱：V球=2兀R3:4兀R33=3：2.答案：3:7.已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为解析：设正方体的棱长为a,则6a2=24,解得a=2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2娘等于球的直径，则球的半径是小,则此球的体积为3兀(q2)3=832兀.答案：呼兀316.8.一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形.圆柱形部分的高为hcm,半径为rcm.试管的容量为108兀cm3,半球部分容量为全试管容量的(1)求r和h;4cm处，求水的体积.16'(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的所以半球部分与圆柱体部分容量比为513即5=-,兀r3x12兀r2xh，所以h=*3兀r3x-=l08Ttx-所以r=3(cm),h=10(cm).第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球(1)(3)a2r1—a,rL2,(2)V=4兀r3x1+兀r2x(h—4)32=~kX33X-+兀X32X6=72兀(cm3)32八10.有三个球，第一个球内切于正方体，过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解：设正方体的棱长为a.如图所示.图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有所以S〔=4兀r2=兀a2图(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r2=V2a,「2=¥a,所以$=4兀「2=2兀a2.
图(3)中正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3=43a,「3=g^a所以&=4兀「3=3兀a2.综上可得Si：S2：S3=1：2：3.1.正三棱锥的高和底面边长都等于A.64兀C.16%B.D.[B.能力提升]6,则其外接球的表面积为()32兀8兀解析：选A.如图，过正三棱锥P-ABC的顶点P作PM，平面ABC于点M,则球心O在PM上,|PM|=6,连接AM,AO,则|OP|=|OA|=R,在RtAOAM中，OM|=6-R,又|AB|=6,且4ABC为等边三角形，故|AM|=22-32=2®则R2-(6-R)2=(273)2,则R=4,所以球的表面积3=4兀R2=64兀.2.三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SAL平面ABCAB=BC=1,则球。的表面积为()3o3A.-2-兀B2兀C.3兀D.12兀解析：选C.由题意可知SB±BC,SALAC,SABXBC,又SA=因为所以所以SA=AB=BC=1,由勾股定理可求得R=近，2，S=47tx(乎)2=3兀,故选C.3,若一个底面边长为坐,侧棱长为乖的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为解析：如图，01。2=46,。。1=乎即R=32.4339所以V=3兀［/=2兀.9答案：2兀4.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为为16兀，则该三棱锥的高的最大值为500”500匹的球的表面上，△ABC所在的小圆面积3解析：如图所示，因为4ABC所在小圆面积为16兀，所以小圆半径r=OA=4.又球的体积为50券，所以334兀R500兀
所以球半径R=5,所以OO'=3.当P在OO'上时取得最值，所以三棱锥的高满足2WPOV8.100答案：85.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6cm,圆柱筒高为2cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶克，那么共需胶多少克？解：(1)因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,所以两个半球的体积之和为V球=：兀R3=1兀,27=36Tt(cm3),33又圆柱筒的体积为V圆柱=兀R2,h=兀X9X2=18兀(cm3).所以这种“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36兀+18兀=54兀=169.6(cm3).(2)根据题意，上、下两个半球的表面积是S球表=4兀R2=4X兀X9=36%(cm2).又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2兀Rh=2X兀X3X2=12兀(cm2),LLr、1‘人“，,心心—TE、f-36兀+12兀48兀2所以1个存球的表面积为S=10=70^(m).因此，2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500X48京=12兀(m2).因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶100X12兀=1200兀(克).6.(选做题)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a,PB=43a,PD=a,PA=PC=q2a,且PD是四棱锥的高.(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径；(2)求四棱锥外接球的半径.解：(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相设球的半径为R,球心为S,如图，连接SA,SB,SC,SD,SP.因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S-FAB,S-PBC,S-PCD,&PAD与四棱锥S-ABCD的高都为R,且它们恰好组合成四棱锥P-ABCD.因为PD为四棱锥P-ABCD的高，PD=AD=BC=a,四边形ABCD为正方形，又PA=PC=V2a,PB=V3a,所以pb2=PA2+AB2=PC2+BC2,所以^PAB,△PCB为直角三角形且全等.所以SaPAB=SAPCB=2,a•V2a=ga2,S^PDA=SAPDC=2a2，S正方形ABCD=a，所以Vp-abcd=；,a2,a=；a3.33VS-PAB=VS-PBC=J,坐a2,R=£a2R,Vs-pad=Vs-pdc=7\a'R=7a2R,Vs-abcd=J.a2.R3263263=裁巳
因为Vp-ABCD=VS-PAB+VS-PBC+VS-PAD+VS-PDC+VS-ABCD,所以1a3=^a2R+1a2R+1a2R,即（也+2）R=a,3333所以R=（1—乎）a,即球的最大半径为（1—#）a.（2）由（1）知^PAB,4PCB为直角三角形，若M为斜边PB的中点，则MA=MB=MP=MC.连接BD,因为PD=a,PB=y3a,BD=q2a,所以PB2=PD2+BD2,即4PDB为直角三角形，PB为斜边，所以MD=MB=MP,所以M为四棱锥P-ABCD外接球的球心，所以外接球半径R=2PB=£.
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