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一元二次方程一、选择题(本大题共9小题,每小题3分,共27分;在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题意)1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )A.x2+=0B.ax2+bx+c=0C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2xy-5y2=02.若关于x的方程(m-3)xm2-7+3x-5=0是一元二次方程,则m的值为( )A.±3B.3C.-3D.m不等于03.若一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2,则p的值为( )A.1B.2C.-1D.-24.用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时,下列变形正确的是( )A.(x+3)2=1B.(x-3)2=1C.(x+3)2=19D.(x-3)2=195.用配方法解方程x2+4x=10的根为( )A.x=2±B.x=-2±C.x=-2+D.x=2-6.一元二次方程x2+3x-4=0的根是( )A.x1=1,x2=-4B.x1=-1,x2=4C.x1=-1,x2=-4D.x1=x2=47.方程(x-5)(x-6)=x-5的根是( )A.x=5B.x=5或x=68
C.x=7D.x=5或x=78.解方程①2x2-5=0;②9x2-12x=0;③x2+2x-3=0时,较简捷的方法分别是( )A.①直接开平方法,②公式法,③因式分解法B.①因式分解法,②公式法,③配方法C.①因式分解法,②公式法,③因式分解法D.①直接开平方法,②因式分解法,③因式分解法9.方程x2-2x-4=0的一个较小的根为x1,下面对x1的估计正确的是( )A.-3<x1<-2B.-2<x1<-C.-<x1<-1D.-1<x1<0二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)10.已知关于x的一元二次方程的一个根为1,写出一个符合条件的方程:__________________.11.方程x2-3x+1=0的根是________________.12.方程3(x-5)2=2(x-5)的根是________.13.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的一个根是0,则m的值为________.三、解答题(本大题共5小题,共57分)14.(16分)用适当的方法解下列方程:(1)9(x-1)2=5;8
(2)(x-3)2+x2=9;(3)2x2+3x=1;(4)x2=6x+1.8
15.(8分)已知关于x的方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0.(1)求m的值;(2)求方程的解.16.(9分)先阅读,再解答下列问题.已知(a2+b2)4-8(a2+b2)2+16=0,求a2+b2的值.错解:设(a2+b2)2=m,则原式可化为m2-8m+16=0,即(m-4)2=0,解得m=4.由(a2+b2)2=4,得a2+b2=±2.(1)上述解答过程出错在哪里?为什么?(2)请你用以上方法分解因式:(a+b)2-14(a+b)+49.8
17.(10分)已知a,b,c是△ABC的三条边长,若x=-1为关于x的一元二次方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0的根.(1)△ABC是等腰三角形吗?请写出你的结论并证明;(2)若关于a的代数式+有意义,且b为方程y2-8y+15=0的根,求△ABC的周长.18.(14分)阅读材料:解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0时,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x28
-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程化为y2-5y+4=0.①解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x2=2,∴x=±;当y=4时,x2-1=4,∴x2=5,∴x=±.∴原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-.解答问题:(1)填空:在由原方程得到①的过程中,利用________达到了降次的目的,体现了化归的数学思想;(2)解方程:x4-x2-6=0.1.C [解析]选项A不是整式方程;选项B二次项系数有可能为0;选项D含有两个未知数.2.C [解析]若关于x的方程(m-3)xm2-7+3x-5=0是一元二次方程,则解得m=-3.故选C.3.C4.D [解析]方程移项,得x2-6x=10,配方,得x2-6x+9=19,即(x-3)2=19.5.B [解析]∵x2+4x=10,∴x2+4x+4=10+4,∴(x+2)2=14,∴x=-2±.6.A [解析]本题可以运用因式分解法来解.7.D8.D9.C [解析]原方程的解为x=,即x=1±,∴原方程的两根为x1=1-,x2=1+,较小的根为x1.∵4<5<,∴2<<,8
∴-<-<-2,∴-<1-<-1.10.答案不唯一,如x2=111.x1=,x2= [解析]根据原方程可知a=1,b=-3,c=1,利用一元二次方程的求根公式x=可得方程的根.12.x1=5,x2= [解析]方程变形得3(x-5)2-2(x-5)=0,分解因式得(x-5)[3(x-5)-2]=0,可得x-5=0或3x-17=0,解得x1=5,x2=.13.2 [解析]把x=0代入(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0中,得m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.∵m-1≠0,∴m≠1,∴m=2.14.解:(1)直接开平方,得3(x-1)=±,解得x1=,x2=.(2)移项,得(x-3)2+x2-9=0,将方程左边分解因式,得(x-3)(x-3+x+3)=0,∴x-3=0或2x=0,∴x1=3,x2=0.(3)移项,得2x2+3x-1=0,∵a=2,b=3,c=-1,b2-4ac=9-4×2×(-1)=17>0,∴x=,∴x1=,x2=-.(4)移项,得x2-6x=1,配方,得x2-6x+9=10,即(x-3)2=10,开平方,得x-3=±,8
∴x1=3+,x2=3-.15.解:(1)∵关于x的方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,∴m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2,∴m的值为1或2.(2)把m=2,代入(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0中,得x2+5x=0,x(x+5)=0,解得x1=0,x2=-5.同理,当m=1时,5x=0,解得x=0.16.解:(1)错误是:设(a2+b2)2=m,应注意m≥0,且a2+b2≥0.所以由(m-4)2=0,解得m=4.由(a2+b2)2=4,得a2+b2=2.(2)设(a+b)=m,则原式可化为m2-14m+49,即(m-7)2.∴(a+b)2-14(a+b)+49=(a+b-7)2.17.解:(1)△ABC是等腰三角形,证明如下:∵x=-1是方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0的根,∴(c-b)+2(b-a)+(a-b)=0,∴c=a.∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴△ABC为等腰三角形.(2)依题意,得∴a=2,∴c=a=2.解方程y2-8y+15=0,得y1=3,y2=5.∵b为方程y2-8y+15=0的根,且b<a+c,∴b的值为3,∴△ABC的周长为2+2+3=7.18.解:(1)换元法(2)设x2=y(y≥0),则x4=(x2)2=y2,原方程化为y2-y-6=0,解得y1=3,y2=-2(不合题意,舍去).当y=3,即x2=3时,x=±,∴原方程的根为x1=,x2=-.8
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