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1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征[A级 基础巩固]一、选择题1．球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，那么这样的大圆有( )A．1个 B．2个C．3个D．无数个解析：因为经过球心的截面有无数个，且都是全等的大圆，故选D.答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是( )A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①②B．①③C．①④D．①⑤解析：当竖直平面过底面圆心时，截面图形是①；当竖直平面不过底面圆心时，截面图形可能是⑤.答案：D5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A．2B．2πC.或D.或解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．
答案：②④8．一个半球内有一个内接正方体，正方体的底面在半球的底面圆内．则当正方体的棱长为时，半球的直径为________．解析：作轴截面如图所示，BC＝，AB＝＝2，所以OB＝.设半球的半径为R，则OC＝R.又OC2＝OB2＋BC2，所以R2＝()2＋()2＝9，所以R＝3，故半球的直径为6.答案：6三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10.如图，圆台的母线AB的长为20cm，上、下底面的半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．解：作出圆台的侧面展开图，如图所示，由Rt△OPA与Rt△OQB相似，得＝，
即＝，解得OA＝20，所以OB＝40.设∠BOB′＝α，由弧BB′的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π＝π·OB·，解得α＝90°.所以在Rt△B′OM中，B′M2＝OB′2＋OM2＝402＋302＝502，所以B′M＝50.即所求绳长的最小值为50cm.B级 能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π
3．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10cm，求圆锥的母线长．解：设圆锥的母线长为ycm，圆台上、下底面半径分别是xcm，4xcm.作圆锥的轴截面如图所示．在Rt△SOA中，O′A′∥OA，所以SA′∶SA＝O′A′∶OA，即(y－10)∶y＝x∶4x，解得y＝.所以圆锥的母线长为cm.
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