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课标版理数§2.7 函数模型及函数的综合应用
1.三种增长型函数模型的图象与性质知识梳理函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①增函数②增函数③增函数增长速度④越来越快⑤越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥y轴平行随x增大逐渐表现为与⑦x轴平行随α值变化而不同
2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xα(α>0)在区间(0,+∞)上,无论α比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xα,但由于y=ax的增长速度⑧快于y=xα的增长速度,因而总存在一个x0,使x>x0时有⑨ax>xα.(2)对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xα(α>0)不论a与α值的大小如何,对数函数y=logax(a>1)的增长速度总会⑩慢于y=xα的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有logaxx0时有ax>xα>logax.3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:
1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )A.118元 B.105元 C.106元 D.108元答案 D 设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108,故选D.
2.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化规律上反映出来,①应该是匀速的,故下面的图象不正确,②中的变化规律应该是越来越慢的,正确;③中的变化规律是先快后慢再快,正确;④中的变化规律是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的.选A.
3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为每个元.答案 95解析 设售价为每个x元,利润为y元,则y=[400-20(x-90)](x-80)=20(110-x)(x-80)=-20(x2-190x+8800)=-20(x-95)2+20×952-20×8800.∴当x=95时,y最大,最大值为4500.全书目录
4.某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x吨,运费为3万元/次,一年的总存储费用为2x万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买吨.答案 30解析 设总费用为y万元,由题意知y=×3+2x=+2x,x∈(0,600],∴y≥2=120(当且仅当x=30时,取“=”),所以每次购买30吨时,总费用最小.
5.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为,该工厂的年产量为件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入-年总投资)
答案y=;16解析 由已知得:当020(x∈N*)时,y=260-100-x=160-x.当x=21时,年利润最大为139万元.综上可知,y与x的函数关系式为y=(x∈N*),且当年产量为16件时,所得年利润最大,为156万元.
典例1 (2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-1答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,因此x=-1,故选D.典例题组函数的实际应用
(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过图象可以很直观地认识它.(2)指数函数模型:能用指数函数表达的函数模型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(a>1),常形象地称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型,其增长特点是开始阶段增长得较快(a>1),但随着x的逐渐增大,其函数值增长的速度越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.
(4)幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型,其增长情况随y=xα中α的取值变化而定,常见的有二次函数模型.(5)“对勾”函数模型:形如f(x)=x+(a>0,x>0)的函数模型,其在现实生活中也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时利用函数的单调性求解最值.
1-1 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解析 (1)设y=f(t)=当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.则y=f(t)=
(2)由y≥0.25得或解得≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-=(小时).
典例2 (2014辽宁,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|
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