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《对数及其运算》教案学习目标1.了解对数、常用对数、自然对数的概念;2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化;3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.学习重难点1.对数的概念在指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应.幂指数x,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数b”记作     logaN    ,即b=logaN(a>0,a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数logaN(a>0,且a≠1)的性质(1)0和负数没有对数,即N>0;(2)1的对数为0,即loga1=0;(3)底的对数等于1,即logaa=1.3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log10N简记作lgN.学习过程[问题情境]对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢?本节就来探讨这个问题.探究点一对数的概念问题1若24=M,则M等于多少?若2-2=N,则N等于多少?答:M=16,N=.问题2若2x=16,则x等于多少?若2x=,则x等于多少?答:x的值分别为4,-2.问题3满足2x=3的x的值,我们用log23表示,即x=log23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x=16,2x=,4x=8的x的值如何表示?答:分别表示为log216,log2,log48. 小结:在指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应.幂指数x,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数b”记作logaN,即b=logaN(a>0,a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.探究点二对数与指数的关系问题1当a>0,且a≠1时,若ax=N,则x=logaN,反之成立吗?为什么?答:反之也成立,因为对数表达式x=logaN不过是指数式ax=N的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2在指数式ax=N和对数式x=logaN中,a,x,N各自的地位有什么不同?答aNx指数式ax=N指数的底数幂幂指数对数式x=logaN对数的底数真数对数问题3若ab=N,则b=logaN,二者组合可得什么等式?答:对数恒等式:a=N.问题4当a>0,且a≠1时,loga(-2),loga0存在吗?为什么?由此能得到什么结论?答:不存在,因为loga(-2),loga0对应的指数式分别为ax=-2,ax=0,x的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5根据对数定义,loga1和logaa(a>0,a≠1)的值分别是多少?答:loga1=0,logaa=1.∵对任意a>0且a≠1,都有a0=1,∴化成对数式为loga1=0;∵a1=a,∴化成对数式为logaa=1.小结:对数logaN(a>0,且a≠1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N>0;(2)1的对数为0,即loga1=0;(3)底的对数等于1,即logaa=1.例1求log22,log21,log216,log2.解:因为21=2,所以log22=1;因为20=1,所以log21=0;因为24=16,所以log216=4;因为2-1=,所以log2=-1.小结:logaN=x与ax=N(a>0,且a≠1,N>0)是等价的,表示a,x,N三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a,x,N中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1将下列指数式写成对数式:(1)54=625;(2)2-6=;(3)3a=27;(4)m=5.73.解:(1)log5625=4;(2)log2=-6;(3)log327=a;(4)log5.73=m.例2计算:(1)log927;(2)log81;(3)log625.解:(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,∴x=.(2)设x=log81,则x=81,3 =34,∴x=16.(3)令x=log625,∴x=625,5 =54,∴x=3.小结:要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2求下列各式中的x的值:(1)log64x=-;(2)logx8=6;(3)lg100=x.解:(1)x=(64)-=(43)-=4-2=.(2)x6=8,所以x=(x6)=8=(23)=2=.(3)10x=100=102,于是x=2.探究点三常用对数问题阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数?常用对数如何表示?答:以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log10N记做lgN.如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3求lg10,lg100,lg0.01.解:因为101=10,所以lg10=1;因为102=100,所以lg100=2;因为10-2=0.01,所以lg0.01=-2.小结:由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n(n∈Z)时,lg10n=n;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.跟踪训练3求下列各式中的x的值:(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lgx)=1;(3)log(-1)=x. 解:(1)∵log2(log5x)=0.∴log5x=20=1,∴x=51=5.(2)∵log3(lgx)=1,∴lgx=31=3,∴x=103=1000.(3)∵log(-1)=x,∴(-1)x====-1,∴x=1.练一练:当堂检测、目标达成落实处1.若log(x+1)(x+1)=1,则x的取值范围是(B)A.x>-1B.x>-1且x≠0C.x≠0D.x∈R解析:由对数函数的定义可知x+1≠1,x+1>0即x>-1且x≠0.2.已知logx=3,则x=________.解析:∵logx=3,∴x=()3,∴x=.3.已知a=(a>0),则loga=__4______.解析:由a=(a>0),得a=()2=()4,所以loga=log()4=4.4.将下列对数式写成指数式:(1)log16=-4;(2)log2128=7;(3)lg0.01=-2.解:(1)-4=16;(2)27=128;(3)10-2=0.01.课堂小结:1.掌握指数式与对数式的互化ab=N⇔logaN=b.2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,loga1=0,logaa=1.3.对数恒等式有:alogaN=N,logaan=n.4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lgN. 查看更多

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