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1.2.1几个常用函数的导数

2022-10-10
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1.2.1几个常用函数的导数 1、导数的定义：一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），记作或，即2、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的三个步骤：2.算比值：1.求增量：3.取极限：解：（1）求增量：（2）算比值：（3）取极限：这就是说，常数的导数等于零1、求函数(c是常数)的导数。下面我们求几个常用函数的导数。2、求函数的导数。解：探究：P13在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数。（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数y=kx（k0）增（减）的快慢与什么有关？yxO 3、函数的导数解：4、函数的导数解：一般地，可以证明幂函数(是任意实数）的导数公式为解：练习1求下列函数的导数：见书P14 分子有理化例1：求曲线y=x3+3x2-5过点M(1,-1)的切线方程.解:由y=x3+3x2-5知y=3x2+6x,设切点为P(x0,y0),则y|x=x0=3x02+6x0,曲线在点P处的切线方程为y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又切线过点M(1,-1),∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即y0=3x03+3x02-6x0-1.而点P(x0,y0)在曲线上,满足y0=x03+3x02-5,∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.整理得x03-3x0+2=0.解得x0=1或x0=2.∴切点为P(1,-1)或P(-2,-1).故所求的切线方程为9x-y-10=0或y=-1. 例2：已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x)、g(x)的表达式.解:∵f(x)=2x3+ax的图象过点P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6x2-8.∵g(x)=bx2+c的图象也过点P(2,0),∴4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,∴b=4.∴c=-16.∴g(x)=4x2-16.综上所述,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16. 小结：几个常用函数的导数:1)y=c(c为常数).2)y=x.3)y=x2.4)y=1/x=x-1. 查看更多

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