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保山曙光学校高一数学必修1李华教学设计§1.1.1集合的含义与表示一、内容与解析（一）内容：集合的含义与表示（二）解析：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。二、教学目标及解析（一）教学目标（1）使学生明确本章学习的重要性，初步理解集合、元素等概念，掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。（2）解析：用集合的观点研究数学，是使数学研究的内容站在一个更系统的方向上，是学习数学的基础，本节是一些基本概念，必须掌握好。三、问题诊断分析集合的含义与表示，在高考中主要考查集合的三个特性、集合的表示法等，题型多以选择题和填空题为主，难度较小.虽然有时不直接考查，但也会作为集合的基础知识，渗透到解答题中与函数、方程、不等式等综合考查.集合作为数学学习的基础，是必须学好，也必须透彻理解的一部分知识.四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint2003。因为使用PowerPoint2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。五、教学过程1.集合有关概念的教学：考察几组对象：①1～20以内所有的质数；②到定点的距离等于定长的所有点；③所有的锐角三角形；④x,3x+2,5y-x,x+y；⑤东升高中高一级全体学生；⑥方程的所有实数根；⑦隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；⑧2005年1月,广东所有出生婴儿。A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）B.定义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,
保山曙光学校高一数学必修1李华教学设计把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称集）。C.讨论集合中的元素的特征：分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。即集合元素三特征。确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。无序性：集合中的元素没有顺序。D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：不等式x-3>0的解；3的倍数；方程x2－2x＋1＝0的解；a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流E.集合相等：构成两个集合的元素是一样的.2.集合的字母表示：①集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。②如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)集合A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(notbelongto)集合A，记作：aA。③练习：设B＝{1,2,3,4,5}，则5B，0.5B，3B，-1B。3.最常见的数集：①分别写出全体自然数、全体整数、全体有理数、全体实数的集合。②这些数集是最重要的，也是最常见的，我们用符号表示：N、Z、Q、R。③正整数集的表示，在N右上角加上“*”号或右下角加上“+”号。4.列举法的教学：①比较：{方程的根}、、②列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来。→P4例1③练习：分别表示方程x(x－1)=0的解的集合、15以内质数的集合。注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同。5.描述法的教学：①描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为，其中x代表元素，p是确定条件。→P5例2②练习：A.“不等式x-3>0的解”与“抛物线y＝x-1上的点的坐标”用描述法表示B.用描述法表示方程x(x－1)=0的解的集合、方程组解集。C.用描述法表示：所有等边三角形的集合、方程x+1=0的解集。
保山曙光学校高一数学必修1李华教学设计③简写原则：从上下文关系来看，、明确时可省略，如,强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。④练习：试用适当的方法表示方程x-8x=0的解集。六、类型题探究题型一集合的概念与特征例1分析下列各组对象能否构成集合：（1）与2010接近的数；（2）一次函数的图象上的若干个点；（3）正比例函数与反比例函数的图象的交点；（4）面积比较小的三角形.判断所给的对象是否具有确定性有确定性则能构成集合，否则不能.【思维导图】【解答关键】判断对象是不是确定的，关键找到是否有一个衡量的标准.【规范解答】“接近的数”、“若干个点”“面积比较小”都是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故（1）、（2）、（4）不能构成集合.而（3）中正比例函数与反比例函数的图象交点为，，所以这两个函数的图象的交点能构成集合.【技巧感悟】判断一组对象能否构成集合，关键是看其对象是否满足集合中元素的三个特征，特别是看是否满足确定性.【活学活用】1.(广东始兴中学09-10高一月考)在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够构成集合的是()A．②B．③C．②③D．①②③1.C解析：①课本中的难题没有明确的标准，不满足集合的确定性.②③都是集合.题型二集合与元素的关系结论集合集合的互异性集合的确定性例2已知，求实数的取值范围.【思维导图】
保山曙光学校高一数学必修1李华教学设计【解答关键】由确定性可知，或，由互异性可知.【规范解答】(1)若，则，此时集合为，不符合集合中元素的互异性，舍去.(2)若，则.①当时，集合为，舍去；②当时，集合为，符合.(3)若，则或.由上可知，和都不符合题意.综上所述，.【技巧感悟】在应用集合中元素的特征解题时，应首先考虑确定性，再结合互异性进行检验，否则很容易出错.这一点必须在学习中引起足够的重视.【思维方法】对于解决集合中元素含参数的问题，一定要全面思考.分类讨论思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握.【活学活用】2.已知集合且，求实数的值.2.解析：由题意，得.当时，；当时，或；当时，或.由集合元素的互异性知且，题型三集合的表示方法例3试选用适当的表示方法表示下列集合.（1）一次函数与的图象的交点组成的集合；分析元素的性质选择合适方法表示集合（2）用描述法表示二次函数的函数值组成的集合.【思维导图】【解答关键】在表示集合时，要根据题意选择适当的表示方法，要看清楚集合中的元素是什么，元素满足什么条件(共同特征)，区分符号语言所表达的含义.【规范解答】（1）因为，从而由一次函数与的图象的交点组成的集合为（2）因为，从而由二次函数的函数值组成的集合为【知识归纳】(1)把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫做列举法.在使用列举法时应注意：①元素间用“，”分隔；②元素不重复、无顺序；③
保山曙光学校高一数学必修1李华教学设计对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法；如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规律时，也可以使用列举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号.(2)用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.其形式为：适合的条件，其中x叫做代表元素，为x的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.【误区警示】在使用描述法时应注意：①弄清楚元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数集、点集，还是其他形式；②准确地说明该集合中元素的特征；③应对其代表元素进行说明.如下面的表示方法是错误的：，事实上它应表示为，或表示为.【活学活用】3．（１）用列举法表示集合.（2）用描述法表示方程的解组成的集合.3．解析：（１）令，则对应的值为.所以用列举法表示集合为.（２）此方程的，故方程无解，其解集可表示为.(二）小结七、目标检测1．（福建福州八中09-10期中）已知集合，那么()A.B.C.D.1．A解析：可知，故选应选A.2．已知集合中三个元素是的三边长，那么一定不是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形2．D解析：若为等腰三角形，则中至少有两个相等，根据集合中元素的互异性可知，中不可能有两个相等，故选D.3．(山东聊城实验中学09-10期中)下列四个说法中，正确的个数是 （）①；②；③若，则；④集合A={x|}含有2个元素A.B.C.D.
保山曙光学校高一数学必修1李华教学设计3．B解析：是由点构成的单元素集，而是一个数，不是点，从而②错误；则当时，③不正确；④中的集合只有一个元素，故选B.4．下列集合中表示同一个集合的是（ ）A. B.C.D.4.C 解析：集合中元素满足无序性.5．集合所有元素是（ ）A.，，， B.， C.，，， D.，，5.D 解析：由可知，是的约数（或者能被整除）且.故，解得其中，所以集合中的所有元素是，，6．（湖北省部分重点中学09-10期中联考）已知集合，若中至多有一个元素，则的取值范围是A.B.或C.或D.6.C解析：至多有一个元素，包含有没有元素和只有一个元素两种情形，故可得C正确.二、填空题7.用符号或填空:(1)___；(2)（1，1）___；(3)___7.（1）（2）（3）8.(10届高三诊断测试)定义集合运算:.设，，则集合的所有元素之和为8.8解析：或，，所有元素之和为.三、解答题9.用适当的方法表示下列集合（1）20的所有质因数（2）满足大于3且小于-1的实数构成的集合（3）所有4的倍数9.解析：（1）20的所有质因数为：2、4，故用列举法表示为{2，5}；（2）满足大于3且小于-1的实数构成的集合中没有元素，故可表示为；（3）所有4的倍数，可用描述法表示为：.
保山曙光学校高一数学必修1李华教学设计10.已知由实数组成的集合满足:若,则.（1）设中含有个元素，且，求；（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由.10.解析：（1）因为，所以，又，所以,,故（2）假设中仅含一个元素，不妨设为，则，有.又中只有一个元素，所以.即，此方程，即方程无实数根.因此不存在这样的.高考能力演练11.（江西南昌三中09-10月考）下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3），，，，这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集.A.个B.个C.个D.个11.11.B解析：（1）中“很小的”不确定；（2）中集合代表元素分别为数集和点集；（3）中，相同，，重复，不满足互异性；（4）中元素为第二和第四象限内的点.12.(09北京理20)已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.分别判断数集与是否具有性质，并说明理由.12.解析：由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质.由于都属于数集，所以该数集具有性质.
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