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“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数,乃至初等数学中,均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现,同学们往往感到困惑,难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。一.运用基本公式:若,则解方程例1.解方程解:去掉第一重绝对值符号,得移项,得或所以所以原方程的解为:例2.解方程解:因为所以即或解方程(1),得 解方程(2),得又因为,所以所以原方程的解为二.运用绝对值的代数意义解方程例3.方程的解的个数是()A.1B.2C.3D.4或4以上解:方程可化为所以所以方程的解有无数个,故选(D)。三.运用绝对值的非负性解方程例4.方程的图像是()A.三条直线:B.两条直线:C.一点和一条直线:(0,0),D.两个点:(0,1),(-1,0)解:因为而 所以所以原方程的图象为两个点(0,1),(-1,0)故选(D)。四.运用绝对值的几何意义解方程例5.解方程解:设,由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看,点落在点与点的内部(包括点与点在内),即原方程的解为。五.运用方程的图象研究方程的解例6.若关于x的方程有三个整数解,则a的值是()A.0B.1C.2D.3 解:作的图象,如图1所示,由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数,把直线平行于x轴上、下移动,通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选(B)。图1同时,我们还可以得到以下几个结论:(1)当时,方程没有解;(2)当或时,方程有两个解;(3)当时,方程有4个解。中考数学试题分类解析汇编专题1:实数一、选择题1.(2012广东省3分)﹣5的绝对值是【   】   A.              5 B.              ﹣5C.               D.﹣【答案】A。【考点】绝对值。【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数,得|﹣5|=5。故选A。2.(2012广东省3分)地球半径约为6400000米,用科学记数法表示为【   】    A.              0.64×107            B.6.4×106          C.64×105D.640×104【答案】B。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)。6400000一共7位,从而6400000=6.4×106。故选B。3.(2012广东佛山3分)的绝对值是【   】   A.2      B.    C.     D.【答案】C。【考点】绝对值。【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义,在数轴上,点到原点的距离是,所以的绝对值是。故选C。4.(2012广东佛山3分)与2÷3÷4运算结果相同的是【   】   A.4÷2÷3   B.2÷(3×4)   C.2÷(4÷2)    D.3÷2÷4【答案】B。【考点】有理数的乘除运算。【分析】根据连除的性质可得:2÷3÷4=2÷(3×4)。故选B。5.(2012广东广州3分)实数3的倒数是【   】  A.﹣  B.  C.﹣3  D.3【答案】B。【考点】倒数。 【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即用1除以这个数.所以3的倒数为1÷3=。故选B。6.(2012广东广州3分)已知,则a+b=【   】  A.﹣8  B.﹣6  C.6  D.8【答案】B。【考点】非负数的性质,绝对值,算术平方,求代数式的值。【分析】∵,,∴a﹣1=0,7+b=0,解得a=1,b=﹣7。∴a+b=1+(﹣7)=﹣6。故选B。7.(2012广东梅州3分)=【   】  A.﹣2  B.2  C.1  D.﹣1【答案】D。【考点】零指数幂。【分析】根据任何非0数的0次幂等于1解答即可:。故选D。8.(2012广东汕头4分)﹣5的绝对值是【   】   A.              5 B.              ﹣5C.               D.﹣【答案】A。【考点】绝对值。【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数,得|﹣5|=5。故选A。9.(2012广东汕头4分)地球半径约为6400000米,用科学记数法表示为【   】   A.0.64×107 B.6.4×106 C.64×105D.640×104【答案】B。【考点】科学记数法。 【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)。6400000一共7位,从而6400000=6.4×106。故选B。10.(2012广东深圳3分)-3的倒数是【   】A.3      B.-3    C.      D。【答案】D。【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即用1除以这个数.所以-3的倒数为1÷(-3)=。故选D。11.(2012广东深圳3分)第八届中国(深圳)文博会以总成交额143300000000元再创新高.将数143300000000用科学记数法表示为【   】A,     B。   C。    D。【答案】B。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)。143300000000一共12位,从而143300000000=1.433×1011。故选B。12.(2012广东湛江4分)2的倒数是【   】A.2   B.﹣2    C.          D.﹣【答案】C。 【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即用1除以这个数.所以2的倒数为1÷2=。故选C。13.(2012广东湛江4分)国家发改委已于2012年5月24日核准广东湛江钢铁基地项目,项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设,预计投产后年产10200000吨钢铁,数据10200000用科学记数法表示为【   】A.102×105              B.10.2×106                C.1.02×106             D.1.02×107【答案】D。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)。10200000一共8位,从而10200000=1.02×107。故选D。14.(2012广东肇庆3分)计算 的结果是【   】A.1   B.    C.5        D.【答案】B。【考点】有理数的加法。【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解:-3+2=-(3-2)=-1。故选B。15.(2012广东肇庆3分)用科学记数法表示5700000,正确的是【   】A.     B.     C.     D.【答案】A。【考点】科学记数法。 【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)。5700000一共7位,从而5700000=5.7×106。故选A。16.(2012广东珠海3分)2的倒数是【   】A.2   B.﹣2     C.          D.﹣【答案】C。【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即用1除以这个数.所以2的倒数为1÷2=。故选C。二、填空题1.(2012广东省4分)若x,y为实数,且满足,则的值是 ▲ .【答案】1。【考点】非负数的性质,算术平方根,绝对值。【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质,要使,必须有且,即x=3,y=3。∴。2.(2012广东梅州3分)使式子有意义的最小整数m是 ▲  .【答案】2。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件,要使在实数范围内有意义,必须。所以最小整数m是2。 3.(2012广东梅州3分)梅州水资源丰富,水力资源的理论发电量为775000千瓦,这个数据用科学记数法可表示为 ▲  千瓦.【答案】7.75×105。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)。775000一共6位,从而775000=7.75×105。4.(2012广东湛江4分)若二次根式有意义,则x的取值范围是 ▲  .【答案】。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须。5.(2012广东肇庆3分)计算的结果是   ▲   .【答案】2。【考点】二次根式的乘法。【分析】根据二次根式乘法进行计算:。 8.(2012广东珠海4分)使有意义的x的取值范围是  ▲   .【答案】。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须。三、解答题1.(2012广东省6分)计算:.【答案】解:原式=。【考点】实数的运算,特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂3个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。2.(2012广东省7分)观察下列等式: 第1个等式:;第2个等式:;第3个等式:;第4个等式:;…请解答下列问题:(1)按以上规律列出第5个等式:a5=  =  ;(2)用含有n的代数式表示第n个等式:an=  =  (n为正整数);(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.【答案】解:(1)。(2)。(3)a1+a2+a3+a4+…+a100。【考点】分类归纳(数字的变化类)。【分析】(1)(2)观察知,找等号后面的式子规律是关键:分子不变,为1;分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号之间的关系为:序号的2倍减1和序号的2倍加1。(3)运用变化规律计算。3.(2012广东梅州7分)计算:.【答案】解:原式=。【考点】实数的运算,绝对值,算术平方根,特殊角的三角函数值,负整数指数幂。 【分析】针对绝对值,算术平方根,特殊角的三角函数值,负整数指数幂4个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。4.(2012广东汕头7分)计算:.【答案】解:原式=。【考点】实数的运算,特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂3个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。8.(2012广东珠海6分)计算:.【答案】解:原式=2-1+1-2=0。【考点】实数的运算,算术平方根,绝对值,零指数幂,负整数指数幂。 【分析】针对算术平方根,绝对值,零指数幂,负整数指数幂4个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。专题2:代数式和因式分解一、选择题1.(2012广东佛山3分)等于【   】                                             A.    B.    C.    D.【答案】A。【考点】同底数幂的乘法。【分析】根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即:。故选A。2.(2012广东广州3分)下面的计算正确的是【   】  A.6a﹣5a=1  B.a+2a2=3a3  C.﹣(a﹣b)=﹣a+b  D.2(a+b)=2a+b【答案】C。【考点】去括号与添括号,合并同类项。【分析】根据合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;去括号法则:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反,进行计算,即可选出答案:A、6a﹣5a=a,故此选项错误;B、a与2a2不是同类项,不能合并,故此选项错误;C、﹣(a﹣b)=﹣a+b,故此选项正确;D、2(a+b)=2a+2b,故此选项错误。故选C。3.(2012广东汕头4分)下列运算正确的是【   】A.a+a=a2     B.(﹣a3)2=a5     C.3a•a2=a3     D.【答案】D。 【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法。【分析】根据合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法运算法则逐一计算作出判断: A、a+a=2a,故此选项错误;B、(﹣a3)2=a6,故此选项错误;C、3a•a2=3a3,故此选项错误;D、,故此选项正确。故选D。4.(2012广东深圳3分)下列运算正确的是【   】A,  B。  C。  D。【答案】B。【考点】合并同类项,同底幂乘法和除法,幂的乘方和积的乘方。【分析】根据合并同类项,同底幂乘法和除法,幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断:A.和不是同类项,不可以合并,选项错误;B.,选项正确;C.,选项错误;D.,选项错误。故选B。5.(2012广东湛江4分)下列运算中,正确的是【   】A.3a2﹣a2=2    B.(a2)3=a5        C.a3•a6=a9         D.(2a2)2=2a4【答案】C。【考点】合并同类项,同底幂乘法,幂的乘方和积的乘方。【分析】根据合并同类项,同底幂乘法,幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断:A、3a2﹣a2=2a2,故本选项错误;B、(a2)3=a6,故本选项错误;C、a3•a6=a9,故本选项正确;D、(2a2)2=4a4,故本选项错误。故选C。6.(2012广东肇庆3分)要使式子有意义,则的取值范围是【   】 A.      B.     C.      D.【答案】A。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在有意义,必须。故选A。7.(2012广东珠海3分)计算﹣2a2+a2的结果为【   】A.﹣3a     B.﹣a   C.﹣3a2        D.﹣a2【答案】D。【考点】合并同类项。【分析】根据合并同类项法则(把同类项的系数相加作为结果的系数,字母和字母的指数不变)相加即可得出答案:﹣2a2+a2=﹣a2。。故选D。二、填空题1.(2012广东省4分)分解因式:2x2﹣10x= ▲ .【答案】2x(x﹣5)。【考点】提公因式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方式或平方差式,若是就考虑用公式法继续分解因式。因此,直接提取公因式2x即可:2x2﹣10x==2x(x﹣5)。2.(2012广东广州3分)分解因式:a3﹣8a= ▲ .【答案】a(a+2)(a﹣2)。【考点】提公因式法和公式法因式分解。【分析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解:a3﹣8a=a(a2﹣8)=a(a+2)(a﹣2)。3.(2012广东梅州3分)若代数式﹣4x6y与x2ny是同类项,则常数n的值为 ▲  .【答案】3。 【考点】同类项。【分析】根据同类项的定义列式求解即可:∵代数式﹣4x6y与x2ny是同类项,∴2n=6,解得:n=3。4.(2012广东汕头4分)分解因式:2x2﹣10x= ▲ .【答案】2x(x﹣5)。【考点】提公因式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方式或平方差式,若是就考虑用公式法继续分解因式。因此,直接提取公因式2x即可:2x2﹣10x==2x(x﹣5)。5.(2012广东汕头4分)若x,y为实数,且满足,则的值是 ▲ .【答案】1。【考点】非负数的性质,算术平方根,绝对值。【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质,要使,必须有且,即x=3,y=3。∴。 2.(2012广东佛山6分)化简:【答案】解:原式=。【考点】分式的加减法。【分析】应用分配率较简便,也可先通分,再计算。3.(2012广东广州10分)已知(a≠b),求的值.【答案】解:∵,∴,∴。【考点】分式的化简求值。【分析】由得出,对通分(最简公分母为),分子因式分解,约分,化简得出,代入求出即可。4.(2012广东汕头7分)先化简,再求值:(x+3)(x﹣3)﹣x(x﹣2),其中x=4.【答案】解:原式=x2﹣9﹣x2+2x=2x﹣9。当x=4时,原式=2×4﹣9=﹣1。【考点】整式的混合运算(化简求值)。【分析】先把整式进行化简,再把x=4代入进行计算即可。5.(2012广东汕头9分)观察下列等式:第1个等式:;第2个等式:;第3个等式:; 第4个等式:;…请解答下列问题:(1)按以上规律列出第5个等式:a5=  =  ;(2)用含有n的代数式表示第n个等式:an=  =  (n为正整数);(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.【答案】解:(1)。           (2)。           (3)a1+a2+a3+a4+…+a100。【考点】分类归纳(数字的变化类)。【分析】(1)(2)观察知,找等号后面的式子规律是关键:分子不变,为1;分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号之间的关系为:序号的2倍减1和序号的2倍加1。(3)运用变化规律计算。6.(2012广东深圳6分)已知=-3,=2,求代数式的值.【答案】解:原式=。           当=-3,=2时,原式=。 9.(2012广东珠海6分)先化简,再求值:,其中.【答案】解:原式=。           当时,原式=。【考点】分式的化简求值,二次根式化简。【分析】先将括号内的分式通分,进行加减后再算除法,计算时,要将除法转化为乘法。最后代入,化简求值。10.(2012广东珠海9分)观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43, 62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×    =     ×25;②  ×396=693×  .(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a、b),并证明.【答案】解:(1)①275;572。②63;36。(2)“数字对称等式”一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a)。证明如下:∵左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,∴左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,∴左边=(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=(10a+b)(100b+10a+10b+a)=(10a+b)(110b+11a)=11(10a+b)(10b+a),右边=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a)=(100a+10a+10b+b)(10b+a)=(110a+11b)(10b+a)=11(10a+b)(10b+a),∴左边=右边。∴“数字对称等式”一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a)。【考点】分类归纳(数字的变化类),代数式的计算和证明。 【分析】(1)观察规律,左边,两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字,十位数字变为个位数字,两个数字的和放在十位;右边,三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换,两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘,根据此规律进行填空即可:①∵5+2=7,∴左边的三位数是275,右边的三位数是572。∴52×275=572×25。②∵左边的三位数是396,∴左边的两位数是63,右边的两位数是36。∴63×369=693×36。(2)按照(1)中对称等式的方法写出,然后利用多项式的乘法进行证明即可。 查看更多

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