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“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。一.运用基本公式：若，则解方程例1.解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2.解方程解：因为所以即或解方程（1），得
解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为二.运用绝对值的代数意义解方程例3.方程的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。三.运用绝对值的非负性解方程例4.方程的图像是（）A.三条直线：B.两条直线：C.一点和一条直线：（0，0），D.两个点：（0，1），（-1，0）解：因为而
所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。四.运用绝对值的几何意义解方程例5.解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。五.运用方程的图象研究方程的解例6.若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）A.0B.1C.2D.3
解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选（B）。图1同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。中考数学试题分类解析汇编专题1：实数一、选择题1.（2012广东省3分）﹣5的绝对值是【 】 A． 5 B． ﹣5C． D．﹣【答案】A。【考点】绝对值。【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5。故选A。2.（2012广东省3分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【 】
A． 0.64×107 B．6.4×106 C．64×105D．640×104【答案】B。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。6400000一共7位，从而6400000=6.4×106。故选B。3.（2012广东佛山3分）的绝对值是【 】 A．2 B． C． D．【答案】C。【考点】绝对值。【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是。故选C。4.（2012广东佛山3分）与2÷3÷4运算结果相同的是【 】 A．4÷2÷3 B．2÷（3×4） C．2÷（4÷2） D．3÷2÷4【答案】B。【考点】有理数的乘除运算。【分析】根据连除的性质可得：2÷3÷4=2÷（3×4）。故选B。5.（2012广东广州3分）实数3的倒数是【 】 A．﹣ B． C．﹣3 D．3【答案】B。【考点】倒数。
【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以3的倒数为1÷3=。故选B。6.（2012广东广州3分）已知，则a+b=【 】 A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【答案】B。【考点】非负数的性质，绝对值，算术平方，求代数式的值。【分析】∵，，∴a﹣1=0，7+b=0，解得a=1，b=﹣7。∴a+b=1+（﹣7）=﹣6。故选B。7.（2012广东梅州3分）=【 】 A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【答案】D。【考点】零指数幂。【分析】根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：。故选D。8.（2012广东汕头4分）﹣5的绝对值是【 】 A． 5 B． ﹣5C． D．﹣【答案】A。【考点】绝对值。【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5。故选A。9.（2012广东汕头4分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【 】 A．0.64×107 B．6.4×106 C．64×105D．640×104【答案】B。【考点】科学记数法。
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。6400000一共7位，从而6400000=6.4×106。故选B。10.（2012广东深圳3分）－3的倒数是【 】A．3 B．－3 C. D。【答案】D。【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以－3的倒数为1÷（－3）=。故选D。11.（2012广东深圳3分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143300000000元再创新高．将数143300000000用科学记数法表示为【 】A， B。 C。 D。【答案】B。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。143300000000一共12位，从而143300000000=1.433×1011。故选B。12.（2012广东湛江4分）2的倒数是【 】A．2 B．﹣2 C． D．﹣【答案】C。
【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以2的倒数为1÷2=。故选C。13.（2012广东湛江4分）国家发改委已于2012年5月24日核准广东湛江钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产10200000吨钢铁，数据10200000用科学记数法表示为【 】A．102×105 B．10.2×106 C．1.02×106 D．1.02×107【答案】D。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。10200000一共8位，从而10200000=1.02×107。故选D。14.（2012广东肇庆3分）计算 的结果是【 】A．1 B． C．5 D．【答案】B。【考点】有理数的加法。【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解：－3+2=－（3－2）=－1。故选B。15.（2012广东肇庆3分）用科学记数法表示5700000，正确的是【 】A． B． C． D．【答案】A。【考点】科学记数法。
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。5700000一共7位，从而5700000=5.7×106。故选A。16.（2012广东珠海3分）2的倒数是【 】A．2 B．﹣2 C． D．﹣【答案】C。【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以2的倒数为1÷2=。故选C。二、填空题1.（2012广东省4分）若x，y为实数，且满足，则的值是 ▲ ．【答案】1。【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有且，即x=3，y=3。∴。2.（2012广东梅州3分）使式子有意义的最小整数m是 ▲ ．【答案】2。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。所以最小整数m是2。
3.（2012广东梅州3分）梅州水资源丰富，水力资源的理论发电量为775000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为 ▲ 千瓦．【答案】7.75×105。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。775000一共6位，从而775000=7.75×105。4.（2012广东湛江4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ▲ ．【答案】。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。5.（2012广东肇庆3分）计算的结果是 ▲ ．【答案】2。【考点】二次根式的乘法。【分析】根据二次根式乘法进行计算：。
8.（2012广东珠海4分）使有意义的x的取值范围是 ▲ ．【答案】。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。三、解答题1.（2012广东省6分）计算：．【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。2.（2012广东省7分）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．【答案】解：（1）。（2）。（3）a1+a2+a3+a4+…+a100。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1。（3）运用变化规律计算。3.（2012广东梅州7分）计算：．【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂。
【分析】针对绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。4.（2012广东汕头7分）计算：．【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。8.（2012广东珠海6分）计算：．【答案】解：原式=2－1＋1－2=0。【考点】实数的运算，算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂。
【分析】针对算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。专题2：代数式和因式分解一、选择题1.（2012广东佛山3分）等于【 】 A． B． C． D．【答案】A。【考点】同底数幂的乘法。【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：。故选A。2.（2012广东广州3分）下面的计算正确的是【 】 A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3 C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b【答案】C。【考点】去括号与添括号，合并同类项。【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案：A、6a﹣5a=a，故此选项错误；B、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；C、﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确；D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误。故选C。3.（2012广东汕头4分）下列运算正确的是【 】A．a+a=a2 B．（﹣a3）2=a5 C．3a•a2=a3 D．【答案】D。
【考点】合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法。【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则逐一计算作出判断： A、a+a=2a，故此选项错误；B、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；C、3a•a2=3a3，故此选项错误；D、，故此选项正确。故选D。4.（2012广东深圳3分）下列运算正确的是【 】A， B。 C。 D。【答案】B。【考点】合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方。【分析】根据合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A.和不是同类项，不可以合并，选项错误；B.，选项正确；C.，选项错误；D.，选项错误。故选B。5.（2012广东湛江4分）下列运算中，正确的是【 】A．3a2﹣a2=2 B．（a2）3=a5 C．a3•a6=a9 D．（2a2）2=2a4【答案】C。【考点】合并同类项，同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方。【分析】根据合并同类项，同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A、3a2﹣a2=2a2，故本选项错误；B、（a2）3=a6，故本选项错误；C、a3•a6=a9，故本选项正确；D、（2a2）2=4a4，故本选项错误。故选C。6.（2012广东肇庆3分）要使式子有意义，则的取值范围是【 】
A． B． C． D．【答案】A。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在有意义，必须。故选A。7.（2012广东珠海3分）计算﹣2a2+a2的结果为【 】A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2 D．﹣a2【答案】D。【考点】合并同类项。【分析】根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可得出答案：﹣2a2+a2=﹣a2。。故选D。二、填空题1.（2012广东省4分）分解因式：2x2﹣10x= ▲ ．【答案】2x（x﹣5）。【考点】提公因式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式2x即可：2x2﹣10x==2x（x﹣5）。2.（2012广东广州3分）分解因式：a3﹣8a= ▲ ．【答案】a（a+2）（a﹣2）。【考点】提公因式法和公式法因式分解。【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解：a3﹣8a=a（a2﹣8）=a（a+2）（a﹣2）。3.（2012广东梅州3分）若代数式﹣4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为 ▲ ．【答案】3。
【考点】同类项。【分析】根据同类项的定义列式求解即可：∵代数式﹣4x6y与x2ny是同类项，∴2n=6，解得：n=3。4.（2012广东汕头4分）分解因式：2x2﹣10x= ▲ ．【答案】2x（x﹣5）。【考点】提公因式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式2x即可：2x2﹣10x==2x（x﹣5）。5.（2012广东汕头4分）若x，y为实数，且满足，则的值是 ▲ ．【答案】1。【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有且，即x=3，y=3。∴。
2.（2012广东佛山6分）化简：【答案】解：原式=。【考点】分式的加减法。【分析】应用分配率较简便，也可先通分，再计算。3.（2012广东广州10分）已知（a≠b），求的值．【答案】解：∵，∴，∴。【考点】分式的化简求值。【分析】由得出，对通分（最简公分母为），分子因式分解，约分，化简得出，代入求出即可。4.（2012广东汕头7分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x=4．【答案】解：原式=x2﹣9﹣x2+2x=2x﹣9。当x=4时，原式=2×4﹣9=﹣1。【考点】整式的混合运算（化简求值）。【分析】先把整式进行化简，再把x=4代入进行计算即可。5.（2012广东汕头9分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；
第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．【答案】解：（1）。 （2）。 （3）a1+a2+a3+a4+…+a100。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1。（3）运用变化规律计算。6.（2012广东深圳6分）已知=－3，=2，求代数式的值．【答案】解：原式=。 当=－3，=2时，原式=。
9.（2012广东珠海6分）先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式=。 当时，原式=。【考点】分式的化简求值，二次根式化简。【分析】先将括号内的分式通分，进行加减后再算除法，计算时，要将除法转化为乘法。最后代入，化简求值。10.（2012广东珠海9分）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，
62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52× = ×25；② ×396=693× ．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．【答案】解：（1）①275；572。②63；36。（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。证明如下：∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），∴左边=右边。∴“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。【考点】分类归纳（数字的变化类），代数式的计算和证明。
【分析】（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可：①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572。∴52×275=572×25。②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36。∴63×369=693×36。（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可。
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