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第四部分 中考专题突破专题一 整体思想1.(2011年江苏盐城)已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是(A)A．－1B．1C．－5D．52．(2011年浙江杭州)当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为－6.3．(2011年山东威海)分解因式：16－8(x－y)＋(x－y)2＝(x－y－4)2.4．(2010年湖北鄂州)已知α、β是方程x2－4x－3＝0的两个实数根，则(α－3)(β－3)＝－6.5．(2011年山东潍坊)分解因式：a3＋a2－a－1＝(a＋1)2(a－1)．6．(2010年江苏镇江)分解因式：a2－3a＝a(a－3)；化简：(x＋1)2－x2＝2x＋1.7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需5元．解析：设铅笔每支x元，日记本y元，圆珠笔z元，有：，②－①得：5x＋4y＋3z＝15 ③，③－①得：x＋y＋z＝5.8．如图X－1－2，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以点O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是.图X－1－29．(2010年重庆)含有同种果蔬汁但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．解析：设A果蔬的浓度为x，B果蔬的浓度为y，且倒出部分的重量为a，有：＝，3(40－a)x＋3ay＝2(60－a)y＋2ax，120x－3ax＋3ay＝120y－2ay＋2ax，120x－120y＝5ax－5ay，
120(x－y)＝5a(x－y)，解得：a＝24.10．(2011年江苏宿迁)已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值．解：原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2.11．(2010年福建南安)已知y＋2x＝1，求代数式(y＋1)2－(y2－4x)的值．解：原式＝y2＋2y＋1－y2＋4x＝2y＋4x＋1＝2(y＋2x)＋1＝2×1＋1＝3.12．(2010年江苏苏州)解方程：－－2＝0.解：方法一：去分母，得(x－1)2－x(x－1)－2x2＝0.化简，得2x2＋x－1＝0，解得x1＝－1，x2＝.经检验，x1＝－1，x2＝是原方程的解．方法二：令＝t，则原方程可化为t2－t－2＝0，解得t1＝2，t2＝－1.当t＝2时，＝2，解得x＝－1.当t＝－1时，＝－1，解得x＝.经检验，x＝－1，x＝是原方程的解．13．(2011年四川南充)关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝22－4(k＋1)≥0，解得：k≤0，∴k的取值范围是k≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)，由已知，－2－(k＋1)＜－1，解得k＞－2，又由(1)知k≤0，∴－2＜k≤0，又∵k为整数，∴k的值为－1和0.14．阅读材料，解答问题．为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x＝±
；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±.∴x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想；(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0.解：(2)设x2＝y，则原方程化为：y2－y－6＝0.解得：y1＝3，y2＝－2.当y＝3时，x2＝3，解得x＝±；当y＝－2时，x2＝－2，无解．∴x1＝，x2＝－.
专题二 分类讨论思想1.已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为9cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是(C)A．11cmB．7cmC．11cm或7cmD．5cm或7cm2．已知一个等腰三角形腰上的高与腰长之比为1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为(D)A．30°B．150°C．60°或120°D．30°或150°3．(2011年贵州贵阳)如图X－2－1，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1，－3)，B(1,3)两点，若＞k2x，则x的取值范围是(C)图X－2－1A．－1＜x＜0B．－1＜x＜1C．x＜－1或0＜x＜1D．－1＜x＜0或x＞14．(2011年甘肃兰州)如图X－2－2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝的图象上．若点A的坐标为(－2，－2)，则k的值为(D)图X－2－2A．1B．－3C．4D．1或－35．(2011年山东枣庄)如图X－2－3，函数y1＝|x|和y2＝x＋的图象相交于(－1,1)，(2,2)两点．当y1>y2时，x的取值范围是(D)
图X－2－3A．x＜－1B．－1＜x＜2C．x＞2D．x＜－1或x＞26．(2011年山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是(D)A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm7．(2011年四川南充)过反比例函数y＝(k≠0)图象上一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，如果△ABC的面积为3.则k的值为6或－6.8．(2010年贵州毕节)三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是6或10或12.9．(2011年浙江杭州)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为或.10．一次函数y＝kx＋k过点(1,4)，且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P(a,0)在x轴正半轴上运动，点Q(0，b)在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB.(1)求k的值，并在直角坐标系中(图X－2－4)画出一次函数的图象；(2)求a、b满足的等量关系式；(3)若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积．图X－2－4解：(1)∵一次函数y＝kx＋k的图象经过点(1,4)，∴4＝k×1＋k，即k＝2.∴y＝2x＋2.当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1.即A(－1,0)，B(0,2)．如图D56，直线AB是一次函数y＝2x＋2的图象.图D56(2)∵PQ⊥AB，∴∠QPO＝90°－∠BAO.又∵∠ABO＝90°－∠BAO，∴∠ABO＝∠QPO.
∴Rt△ABO∽Rt△QPO.∴＝，即＝.∴a＝2b.(3)由(2)知a＝2b.∴AP＝AO＋OP＝1＋a＝1＋2b，AQ2＝OA2＋OQ2＝1＋b2，PQ2＝OP2＋OQ2＝a2＋b2＝(2b)2＋b2＝5b2.若AP＝AQ，即AP2＝AQ2，则(1＋2b)2＝1＋b2，即b＝0或－，这与b>0矛盾，故舍去；若AQ＝PQ，即AQ2＝PQ2，则1＋b2＝5b2，即b＝或－(舍去)，此时，AP＝2，OQ＝，S△APQ＝×AP×OQ＝×2×＝.若AP＝PQ，则1＋2b＝b，即b＝2＋.此时AP＝1＋2b＝5＋2，OQ＝2＋.S△APQ＝×AP×OQ＝×(5＋2)×(2＋)＝10＋.∴△APQ的面积为或10＋.11．(2011年浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图X－2－5中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．(1)判断点M(1,2)，N(4,4)是否为和谐点，并说明理由；(2)若和谐点P(a,3)在直线y＝－x＋b(b为常数)上，求点a、b的值．图X－2－5解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)，∴点M不是和谐点，点N是和谐点．(2)由题意得，当a>0时，(a＋3)×2＝3a，∴a＝6，点P(a,3)在直线y＝－x＋b上，代入得b＝9；当a0，b>0)的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2＋bx＋＝0的解为－3.[来源:Z.xx.k.Com]图X－3－8
9．(2011年山东菏泽)如图X－3－9，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1,0)．图X－3－9(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．解：(1)把点A(－1,0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x2＋bx－2，整理后解得b＝－，所以抛物线的解析式为y＝x2－x－2.顶点D.(2)∵AB＝5，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．(3)作出点C关于x轴的对称点C′，则C′(0,2)，OC′＝2.连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD的值最小．设抛物线的对称轴交x轴于点E.△C′OM∽△DEM.∴＝.∴＝.∴m＝.10．(2011年湖南邵阳)如图X－3－10，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A，点C(0,3)，点B是x轴上的点(位于点A右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C.图X－3－10
(1)求∠ACB的度数；(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：如图D57，(1)90° 图D57(2)∵△AOC∽△COB，∴＝，又∵A(－，0)，点C(0,3)，∴AO＝，OC＝3，∴所以解得：OB＝4，∴B(4,0)，把A、B两点坐标代入解得：y＝－x2＋x＋3.(3)存在．直线BC的方程为3x＋4y＝12，设点D(x，y)．①若BD＝OD，则点D在OB的中垂线上，点D横坐标为2，纵坐标为，即D1(2，)为所求．②若OB＝BD＝4，则＝，＝，得y＝，x＝，点D2(，)为所求．11．(2011年广东汕头)如图X－3－11，抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3,0)．图X－3－11(1)求直线AB的函数关系式；(2)动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P
作垂直于x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O，点C重合的情况)，连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由．解：(1)把x＝0代入y＝－x2＋x＋1，得y＝1，把x＝3代入y＝－x2＋x＋1，得y＝，∴A、B两点的坐标分别(0,1)，，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入A、B的坐标，得：，解得，∴y＝x＋1.(2)把x＝t分别代入到y＝x＋1和y＝－x2＋x＋1，分别得到点M、N的纵坐标为t＋1和－t2＋t＋1，∴MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)＝－t2＋t，即s＝－t2＋t，∵点P在线段OC上移动，∴0≤t≤3.(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN，∴当BC＝MN时，四边形BCMN即为平行四边形，由－t2＋t＝，得t1＝1，t2＝2，[来源:Z.Com]即当t＝1或2时，四边形BCMN为平行四边形当t＝1时，PC＝2，PM＝，由勾股定理求得CM＝，此时BC＝CM＝MN＝BN，平行四边形BCMN为菱形；当t＝2时，PC＝1，PM＝2，由勾股定理求得CM＝，此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形．∴当t＝1时，平行四边形BCMN为菱形．
专题四 归纳与猜想1.(2011年浙江)如图X－4－1，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”的个数为(C)图X－4－1A．28B．56C．60D．1242．(2010年山东日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过如图X－4－2(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称如图X－4－2(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(D)图X－4－2A．15B．25C．55D．12253．(2011年内蒙古乌兰察布)将一些半径相同的小圆按如图X－4－3所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有n(n＋1)＋4或n2＋n＋4个小圆(用含n的代数式表示)．图X－4－34．(2011年湖南常德)先找规律，再填数：＋－1＝，＋－＝，＋－＝，＋－＝，……则＋－＝.[来源:Z.Com]5．(2010年辽宁丹东)如图X－4－4，已知△ABC
是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是()n.图X－4－46．(2010年浙江嵊州)如图X－4－5，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7，…，则“17”在射线OE上；“2007”在射线OC上．图X－4－57．(2011年四川绵阳)观察图X－4－6的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第15个图形共有120个．[来源:学#科#网Z#X#X#K]图X－4－68．(2011年广东湛江)已知：A＝3×2＝6，A＝5×4×3＝60，A＝5×4×3×2＝120，A＝6×5×4×3＝360…，观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A＝210(直接写出计算结果)，并比较A”或“0，∴y随x增大而增大．
∴y要最小时x应最小为1.∴调运方案为A往甲调1吨，往乙调13吨；B往甲调14吨，不往乙调．故调运量＝1×50＋30×13＋14×60＝1280(万吨·千米)．8．(2011年湖北黄石)2011年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量(吨)单价(元/吨)不大于10吨部分1.5大于10吨且不大于m吨部分(20≤m≤50)2[大于m吨部分3(1)若某用户6月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；(2)记该户6月份用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；(3)若该用户6月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．解：(1)应缴纳消费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)．(2)当0≤x≤10时，y＝1.5x；当10m时，y＝15＋2(m－10)＋3(x－m)＝3x－m－5.∴y＝.(3)当40≤m≤50时，y＝2×40－5＝75(元)满足．当20≤m
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