资料简介
学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如果函数 y＝ax＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3，则 a＝
( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
【解析】 根据平均变化率的定义，可知Δy
Δx
＝(2a＋b)－(a＋b)
2－1
＝a
＝3.故选 C.
【答案】 C
2 ． 若 函 数 f(x) ＝ － x2 ＋ 10 的 图 象 上 一 点(3
2
，31
4 )及 邻 近 一 点
(3
2
＋Δx，31
4
＋Δy)，则Δy
Δx
＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
【解析】 ∵Δy＝f(3
2
＋Δx)－f(3
2 )＝－3Δx－(Δx)2，
∴Δy
Δx
＝－3Δx－(Δx)2
Δx
＝－3－Δx.故选 D.
【答案】 D
3．若质点 A 按照规律 s＝3t2 运动，则在 t＝3 时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81【解析】 因为Δs
Δt
＝3(3＋Δt)2－3 × 32
Δt
＝18Δt＋3(Δt)2
Δt
＝18＋3Δt，
所以lim
Δt→0 Δs
Δt
＝18.
【答案】 B
4.如图 3－1－1，函数 y＝f(x)在 A，B 两点间的平均变化率是( )
图 3－1－1
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 Δy
Δx
＝f(3)－f(1)
3－1
＝1－3
2
＝－1.
【答案】 B
5．已知函数 f(x)＝13－8x＋ 2x2，且 f′(x0)＝4，则 x0 的值为( )
A．0 B．3
C．3 2 D．6 2
【解析】 f′(x0)＝ lim
Δx→0 Δy
Δx
＝
lim
Δx→0 [13－8(x0＋Δx)＋ 2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋ 2x20)
Δx
＝ lim
Δx→0 －8Δx＋2 2x0Δx＋ 2(Δx)2
Δx
＝ lim
Δx→0 (－8＋2 2x0＋ 2Δx)
＝－8＋2 2x0＝4，所以 x0＝3 2.
【答案】 C
二、填空题6．一物体的运动方程为 s＝7t2＋8，则其在 t＝________时的瞬时
速度为 1.
【解析】 Δs
Δt
＝7(t0＋Δt)2＋8－(7t20＋8)
Δt
＝7Δt＋14t0，
当lim (7Δt＋14t0)＝1 时，t0＝ 1
14
.
【答案】 1
14
7．已知曲线 y＝1
x
－1 上两点 A(2，－1
2)，B(2＋Δx，－1
2
＋Δy)，当
Δx＝1 时，割线 AB 的斜率为________．
【解析】 Δy＝( 1
2＋Δx
－1)－(1
2
－1)
＝ 1
2＋Δx
－1
2
＝2－(2＋Δx)
2(2＋Δx) ＝ －Δx
2(2＋Δx)，
∴Δy
Δx
＝
－Δx
2(2＋Δx)
Δx
＝－ 1
2(2＋Δx)，
即 k＝Δy
Δx
＝－ 1
2(2＋Δx).
∴当 Δx＝1 时，k＝－ 1
2 × (2＋1)＝－1
6
.
【答案】 －1
6
8．已知函数 f(x)＝1
x
，则 f′(2)＝________.
【解析】 lim f(2＋Δx)－f(2)
Δx
＝lim
－Δx
2(2＋Δx)
Δx
＝lim －1
2(2＋Δx)＝－1
4
.【答案】 －1
4
三、解答题
9．求 y＝x2＋1
x
＋5 在 x＝2 处的导数．
【解】 ∵Δy＝(2＋Δx)2＋ 1
2＋Δx
＋5－(22＋1
2
＋5)
＝4Δx＋(Δx)2＋ －Δx
2(2＋Δx)，
∴Δy
Δx
＝4＋Δx－ 1
4＋2Δx
，
∴y′|x＝2＝ lim
Δx→0 Δy
Δx
＝ lim
Δx→0 (4＋Δx－ 1
4＋2Δx)
＝4＋0－ 1
4＋2 × 0
＝15
4
.
10．若函数 f(x)＝－x2＋x 在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大
于－1，求 Δx 的范围. 【导学号：26160069】
【解】 因为函数 f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
Δy
Δx
＝f(2＋Δx)－f(2)
Δx
＝－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2)
Δx
＝－4Δx＋Δx－(Δx)2
Δx
＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得 Δx≥－2.
又因为 Δx＞0，
即 Δx 的取值范围是(0，＋∞)．[能力提升]
1．函数 y＝x2 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx
到 x0 之间的平均变化率为 k2，则 k1 与 k2 的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1
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