资料简介
小学数学总复习
第一部分 数与代数
1、整数和小数的意义
自然数
正整数
整数 0
负整数
有限小数
小数 循环小数
无限小数
不循环小数
2、整数、小数和正、负数的读、写法
（1）整数的读、写法
（2）小数的读、写法
（3）正、负数的读、写法
3、小数的相关性质
（1）小数的相关性质
（2）小数点位置移动引起小数大小变化的规律
4、数位顺序表
5、数的改写及求近似数（1）把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
（2）求近似数
6、分数
（1）分数的意义
（2）分数单位
（3）分数的分类：真分数、假分数
（4）分数的基本性质
（5）分数与除法的关系
（6）约分
（7）最简分数：分母、分子是互质数的分数
（8）通分
（9）分数的基本性质和小数的基本性质的关系
（10）倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。
（11）分数的读法和写法
（12）百分数
7、数的大小比较
（1）整数的大小比较
（2）小数的大小比较
（3）正负数的大小比较
（4）分数的大小比较
8、各类数之间的联系
（1）整数和分数之间的联系
（2）小数和分数之间的关系
（3）分数和百分数之间的关系
（4）分数、小数和百分数之间的关系9、因数、倍数
（1）因数、倍数的意义和特征
（2）2、3、5 的倍数的特征
10、奇数、偶数
11、质数、合数
（1）质数：只有 1 和它本身两个因数的数。
（2）合数：除了 1 和它本身还有别的因数的数。
（3）质数、合数的判断
（4）分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。
（5）分解质因数的方法：短除法
12、公因数、公倍数
（1）公因数和最大公因数的意义、互质数（公因数只有 1 的两个数叫做互质数）
（2）两个数最大公因数的求法：枚举法、缩小倍数法、短除法、分解质因数法
（3）公倍数和最小公倍数的意义
（4）两个数最小公倍数的求法：枚举法、扩大倍数法、短除法、分解质因数法
（5）求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法
A、两数为倍数关系，较小数是这两个数的最大公因数；较大数是这两个数
的最小公倍数。
B、两数是互质数，它们的最大公因数是 1，最小公倍数为它们的乘积。
第二部分 数的运算
1、四则运算的意义及计算方法
整数、小数、分数的加法、减法、乘法、除法
2、四则运算中各部分间的关系加法：和=加数+加数，加数=和-另一个加数
减法：差=被减数-减数，减数=被减数-差，被减数=减数+差
乘法：积=因数×因数，一个因数=积÷另一个因数
除法：商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=除数×商
3、四则混合运算的顺序
（1）四则混合运算分为两级：加法、减法叫做第一级运算，乘法、除法叫做第
二级运算。
（2）四则混合运算的顺序
A．在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计
算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。
B．在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最
后算中括号外面的。
4、运算定律和运算性质
（1）运算定律
加法交换率：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：a×b=b×a
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c
（2）运算性质
A．减法的运算性质及变式应用
a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c a+(b-c)=a+b-c
B．除法的运算性质（除数不为 0）及变式运用
a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c
C．商不变的性质
（a×m）÷（b×m）=a÷b(m≠0,b≠0)
（a÷m）÷（b÷m）=a÷b(m≠0,b≠0)D．积不变的规律
（a×m）×（b÷m）=a×b(m≠0)
5、估算
（1）估算的意义
（2）常用的估算策略：
a.凑整的方法；b.取一个中间数；c.根据特殊数的特点进行估算
6、简便运算
§6.1 提取公因式：这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，
考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。注意相同因数的提取。
例如：0.92×1.41+0.92×8.59=0.92×(1.41+8.59)
§6.2 有借有还法：用此方法时，需要注意观察，发现规律。
考试中，看到有类似 998、999 或者 1.98 等接近一个非常好计算的整数的时候，
往往使用借来借去法。
9999+999+99+9
=9999+1+999+1+99+1+9+1—4
§6.3 拆分法：顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需
要掌握一些“好朋友”，如：2 和 5，4 和 5，2 和 2.5，4 和 2.5，8 和 1.25 等。
分拆还要注意不要改变数的大小哦。
3.2×12.5×25=8×0.4×12.5×25=8×12.5×0.4×25
§6.4 加法结合律
注意对加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)的运用，通过改变加数的位置来获得更简便
的运算。
5.76+13.67+4.24+6.33=(5.76+4.24)+(13.67+6.33)
§6.5 拆分法和乘法分配律结合：这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，
在考卷上看到 99、101、9.8 等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。
34×9.9=34×(10-0.1)
案例再现：57×101=?
§6.6 利用基准数：在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数
字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。2072+2052+2062+2042+2083=(2062x5)+10-10-20+21
§6.7 利用公式法(必背)
(1)加法： 交换律，a+b=b+a,
结合律，(a+b)+c=a+(b+c).
(2)减法运算性质：
a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c,
a-b-c=a-c-b (a+b)-c=a-c+b=b-c+a.
(3)乘法(与加法类似)：
交换律，a*b=b*a,
结合律，(a*b)*c=a*(b*c),
分配率，(a+b)xc=ac+bc, (a-b)*c=ac-bc.
(4)除法运算性质(与减法类似)
a÷(b*c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷bxc,
a÷b÷c=a÷c÷b (a+b)÷c=a÷c+b÷c,
(a-b)÷c=a÷c-b÷c.
前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规
律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号不变。
例 1：283+52+117+148=(283+117)+(52+48)(运用加法交换律和结合律)。
减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。
例 2：657-263-257=657-257-263=400-263
(运用减法性质，相当加法交换律。)
例 3：195-(95+24)=195-95-24=100-24
(运用减法性质)
例 4：150-(100-42)=150-100+42(同上)
例 5：
(0.75+125)*8
=0.75*8+125*8=6+1000
.(运用乘法分配律))例 6：
(125-0.25)*8
=125*8-0.25*8
=1000-2
例 7：
(1.125-0.75)÷0.25
=1.125÷0.25-0.75÷0.25
=4.5-3=1.5。
(运用除法性质)
例 8:
(450+81)÷9
=450÷9+81÷9
=50+9=59.
(同上，相当乘法分配律)
例 9：
375÷(125÷0.5)
=375÷125*0.5=3*0.5=1.5.
例 10：
4.2÷(0。6*0.35)
=4.2÷0.6÷0.35
=7÷0.35=20.
例 11：
12*125*0.25*8
=(125*8)*(12*0.25)
=1000*3=3000.
(运用乘法交换律和结合律)
例 12:
(175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27
=100+100+27=227.
(运用加法性质和结合律)
例 13：
(48*25*3)÷8
=48÷8*25*3
=6*25*3=450.
(运用除法性质,相当加法性质) 第三部分 方程
一、用字母表示数
1、用字母表示数
2、用字母表示数量关系
3、用字母表示运算定律和运算性质
4、用字母表示图形的计算公式
5、用字母表示数在书写上的规定
6、含字母的式子求值
例如：当 a=6，b=10 时，求 2ab。
二、简易方程
1、方程：含有未知数的等式。
2、解方程
（1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
（2）求方程的解的过程，叫做解方程
（3）利用等式的性质解方程
A、方程两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
B、方程两边同时乘以同一个数，左右两边仍然相等。C、方程两边同时除以同一个不等于 0 的数，左右两边仍然相等
（4）列方程解决问题的步骤：
（a）设未知数 （b）根据等量关系列方程
（c）解方程 （d）检验、写答
第四部分 单位换算
1、时间
§1.1 时间单位：世纪、年、月、日、时、分、秒；另有季度、旬、星期。
§1.2 年、月、日之间关系
一年有 12 个月，平年 365 天，闰年 366 天。
大月:1 月、3 月、5 月、7 月、八月、十月、十二月
小月：4 月、6 月、9 月、11 月
二月既不是大月，也不是小月，平年 28 天，闰年 29 天。
§1.3 平年、闰年的判断方法
根据公历年份判断，整百、整千的年份是 400 的倍数，其他年份是 4 的倍数
的都是闰年，反之则为平年。
§1.4 日、时、分、秒等时间单位间的关系
1 世纪=100 年，1 日=24 小时，1 小时=60 分钟，1 分钟=60 秒，1 小时=3600 秒
一星期=7 天 ，1 年=12 个月
§1.5 24 时计时法
A．24 时计时法的意义
B．普通计时法与 24 时计时法的换算§1.6 时钟问题
一、什么是钟面行程问题？
钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有两种：⑴研
究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；⑵
研究有关时间误差的问题．
在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是
分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．
二、钟面问题有哪几种类型？
第一类是追及问题（注意时针分针关系的时候往往有两种情况）；第二类是
相遇问题（时针分针永远不会是相遇的关系，但是当时针分针与某一刻度夹角相
等时，可以求出路程和）；第三种就是走不准问题，这一类问题中最关键的一点：
找到表与现实时间的比例关系。
三、钟面问题有哪些关键问题？
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
四、解答钟面问题有哪些基本方法？
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成 60 小格，每小格我们称为 1 分格。分针每小时
走 60 分格，即一周；而时针只走 5 分格，故分针每分钟走 1 分格，时针每分钟走 1／12 分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是 360°，分针每分钟转 360/60 度，即 6°，
时针每分钟转 360/12*60 度，即 1/2 度。
§1.7 求经过的时间
A．同一天，可化为 24 时计时法，再用减法计算；
B．涉及两天或两天以上，以晚上 12 时为界，分段计算。
2、人民币的单位及其进率
§2.1 人民币的单位：元、角、分
§2.2 1 元=10 角，1 角=10 分，1 元=100 分
3、质量
§3.1 常见的质量单位：吨、千克、克、毫克
§3.2 1 吨=1000 千克，1 千克=1000 克，1 克=1000 毫克
§3.3 了解：1 千克=1 公斤，1 公斤=2 市斤，1 市斤=10 两=500 克
4、长度
§4.1 常见的长度单位： 千米（公里）km，米 m，分米 dm，厘米 cm，毫米 mm，
了解：微米 μm，纳米 nm，皮米 pm，英寸 in、英尺，英里，海里，
光年约 9.46×1012 千米，
§4.2 1km=1000m，1m=10dm=100cm=1000mm，1dm=10cm=100mm
了解：1 英寸=2.54 厘米，1 英尺=12 英寸5、面积和表面积
§5.1 概念：面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测
量一般称表面积。
§5.2 常用面积单位：平方千米、平方米、平方分米、平方厘米
了解：亩、公顷（平方百米 hm²）
§5.3 单位间换算
1 平方米=100 平方分米，1 平方分米=100 平方厘米，1 平方厘米=100 平方毫米
1 公顷=10000 平方米=15 亩，1 亩=666.67 平方米
6、体积和容积
§6.1 概念：
体积，就是物体所占空间的大小。
容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积
§6.2 常用单位
体积单位：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）
容积单位：升（l）、毫升（ml）
§6.3 单位换算
体积单位：1 立方米=1000 立方分米、1 立方分米=1000 立方厘米
容积单位：1 升=1000 毫升、1 升=1 立方分米、1 毫升=1 立方厘米
7、名数之间的互化
§7.1 名数的概念：富有数量单位名称的数叫做名数。数+单位名称=名数
例如:3 米,8 元,10 张,100 千克等.
§7.2 单名数和复名数A．只带有一个单位名称的叫做单名数。
单名数，如：5 小时 ， 3 千克（只有一个单位的）
B．带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数
复名数，如：5 小时 6 分 ， 3 千克 500 克（有两个单位的）
§7.3 高级单位的数如把米改成厘米，把公斤或千克改为克
低级单位的数如把厘米改成米，把克改为公斤或千克
第五部分 几何初步知识
Ⅰ、平面几何知识
一、直线、射线和线断
名称 图形 意义 相同点 不同点
直线 把线段的两端无限延长，
就可以得到一条直线
没有端点，
长度无限
射线 把线段的一端无限延长，
就可以得到一条射线。
只有一个端点，
长度无限
线段 直线上两点间的一段。
都是直的
有两个端点，
长度有限
二、平行与垂直1、平行：在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说两
条直线平行。
2、垂直：在同一平面内，两条直线相交成直角，就说这两条直线互
相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫
做垂足。
3、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长
度。
※重点提示：同一平面内的两条直线不是平行，就是相交，垂直是相交的特殊情况。
三、角
1、角的意义：从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。这两条
射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
2、角的分类
大于 0°
小于 90°
等于 90° 大于 90°
小于 180°
=180° =360°
3、度量角的方法
4、画已知度数的角的方法四、三角形
1、概念：三角形是由同一平面内三条线段首尾顺次连接所围成的封
闭图形。
2、三角各部分名称
（1）边：围成三角形的三条线段，即三角形的三条
边。
（2）顶点：每两条边的交点。
（3）内角：每两条边所围成的角。
3、三角形的分类
4、三角形的内角和为 180°。
5、三角形的特殊性质：三角形具有稳定性。
6、三角形内最少有 2 个锐角，最多三个锐角。7、在三角形中至少有一个角大于等于 60 度，也至少有一个角小于等
于 60 度。
8 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
五、四边形
1、概念：同一平面内四条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形。
2、四边形的分类
3、几种四边形之间的关系六、圆
1、基本知识点
（1）圆的初步认识
圆中心的一点叫圆心,用 o 表示。一端在圆心,另一端在圆上的线
段叫半径,用r表示.两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d表示。
圆有无数条半径，无数条直径，所有的半径都相等，所有的直径
也都相等 ，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，字母关系式为 。
或半径是直径的一半，字母关系式为 。
圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。在圆内最长的线段是直径。
将一张圆形纸片至少对折 2 次，就能确定圆心的位置 。
圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对
称轴。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
（2）圆的周长（用 C 来表示）
圆一周的长度就是圆的周长。
任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做
圆周率, 所以任何一个圆的圆周率，都不随圆的大小而变化。用字母
π 表示，计算时通常取 3.14，注意π是一个固定值，而 3.14 是一个
近似值。
2d r=
1
2r d=公式： 圆周率=圆的周长÷圆的直径=周长/直径
圆的周长公式：C=πd 或 C=2πr
一个圆的周长是直径的π倍，是半径的 2π倍。
（3）圆的面积（用 S 来表示）
圆所占地方的大小就是圆的面积。
把一个圆，经若干等分后，再拼成一个近似的长方形：
长方形的长 = 圆周长的一半 = πr ，长方形的宽=半径= r 。
长方形的面积= πr2 即圆的面积
圆的面积公式： S=πr2
（4）半圆的周长和面积
将一个圆沿着任何一条直径剪开分成两个相同的半圆，其中的一
个就叫做半圆。半圆是由一条半圆弧和一条直径围成。那么
半圆 的周长公式：
半圆 的面积公式：
（5）圆环的周长和面积
两个同心圆形成一个圆环。设小圆和大圆（或内圆和外圆）的半
径和直径分别为 r 和 R。（R﹥r）
圆环的周长：
C半圆
C = 22
d d r r
π π+ = +半圆
C半圆
2= 2C rπ ÷半圆
=2 2C r Rπ π+圆环圆环的面积：
（6）扇形: n°的扇形面积 S 扇形=nπr²/360 n°的弧长为：(2πr×n)/360=nπr/180
图（1）上 A、B 两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”。 图
（2）一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
（7）圆的相关结论
一个圆的半径扩大若干倍，则它的直径也扩大相同的倍数，周长
也扩大相同的倍数，而面积扩大倍数的平方倍。
在周长相等的长方形，正方形和圆中，（ 圆 ）的面积大一些。
需记忆数据：
202=400
七、平面图形的周长和面积
( )2 2 2 2= R - RS r rπ π π= −圆环
1 3.14π＝ 2 6.28π＝ 3 9.42π＝ 4 12.56π＝ 5 15.7π＝
6 18.84 π＝ 7 21.98π＝ 8 25.12π＝ 9π＝28. 26 10 3.14π =
211 121= 212 144= 213 169= 214 196= 215 225=
216 256= 217 189= 218 324= 219 361=Ⅱ、立体几何知识
一、 长方体和正方体
（一）长方体和正方体的特征：
相同点 不同点
形体
面 棱 顶点 面的形状 面的大小 棱长
关系
长方体 6 12 8
一般六个面都是长
方形（也有两个相
对的面是正方形）。
相对的面面
积相等
平行的四
条棱长度
相等
正方体 6 12 8 六个面都是正方形六个面的面
积相等
十二条棱
长都相等
正方体是
特殊的长
方体长方体：①有 6 个面，相对的面完全相同；
长方体放桌面上，最多只能看到 3 个 面。
②有 12 条棱，相对的棱长长度相等，而且相对的棱互相平行；
12 条棱可以分为 3 组（分别为长、宽、高），每组的 4 条棱一样长；
长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4
③有 8 个顶点，每个顶点上的三条棱分别称为长方体的长、宽、高。
正方体：①有 6 个完全相同的面；正方体放桌面上，最多只能看到 3 个面。
②有 12 条长度相等的棱，每条棱的长度称为正方体的棱长；
正方体的总棱长=棱长×12。
③有 8 个顶点。
（二）长方体和正方体的表面积
定义：长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。
1. 法一：(1)长方体的表面积（有六个面）=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
=（长×宽+长×高+宽×高）×2（因为长方体相对的面完全相同）
法二：前、后面：长×高×2=X
左、右面：长×高×2=Y
上、下面：长×宽×2=Z
则长方体的表面积（有六个面）= X + Y + Z
上
面下
面
左
面
后
面
右
面
前
面2. 正方体的表面积（有六个面）=棱长×棱长×6（因为正方体的六个面完全
相同）
在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，
可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，
再减去不需要的那个（些）面。
一个抽屉有 5 个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一
个抽屉所需要的木板，只要算出这 5 个面的面积就可以了。
通风管顾名思义是通风用的，没有上面和底面。所以只要算四个侧面就可以
了。
（1）具有六个面的长方体或正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；
（2）具有五个面的长方体或正方体物品：水池、鱼缸等；
（3）具有四个面的长方体或正方体物品：水管、烟囱等。
（三）体积与容积单位及换算
1.体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
1 立方米=1000 立方分米
1 立方分米=1000 立方厘米
食指的手指尖的体积大约是 1 立方厘米；粉笔盒的体积大约是 1 立方分米；装 29
英寸电视机的大纸箱的体积大约是 1 立方米。
2.容积：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。
计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体
积，如水、油等，常用升和毫升（即 L 和 ml）。
1 升=1000 毫升
1 毫升=1 立方厘米
3.体积单位与容积单位：1 升=1 立方分米
1 毫升=1 立方厘米
3 31 1000m dm=
3 31 1000dm cm=
1 1000L ml=
31 1ml cm=
31 1L dm=
31 1ml dm=（四）长方体与正方体体积(或容积)的计算
1. 长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长（棱长的三次方）
长方体或正方体的体积=底面积×高
容积的计算方法和体积是相同的，只是测量时体积是测量物体外面的数据，
而容积是测量物体内部的数据。不计物体的厚度，体积=容积。
1. 不规则物体（不溶于液体）的体积计算
放入物体（1）一个水杯，底面积为 S,水的高度为 h,则水的体积=Sh.当放入
石头之后（石头不溶于水且全部浸没在水中），水的高度变为 H,则水杯内总体
积为=SH.（石头不溶于水，水上升的体积等于石头的体积。）
石头的体积=SH-Sh=S(H-h)。
拿出物体（2）一个水瓶里有水和铁块（铁块全部浸没在水中），底面积为
S,水的高度为H,则水瓶内总体积=SH.当拿出铁块水中物体之后，水的高度变为h,
则水杯里水的体积为=Sh.（铁块不溶于水，水下降的体积等于铁块的体积）
铁块的体积=SH-Sh=S(H-h)。
3.盐溶于水，则 盐的体积+水的体积﹥盐水的体积
二、圆柱和圆锥
圆柱
1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。
2、圆柱也可以由长方形卷曲而得到。（两种方式：1.以长方形的长为底面
周长，宽为高;2.以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的
圆柱体体积较大。）
3、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是
相等的。
V abh=
3V a a a a= ⋅ ⋅ =
V Sh=4、圆柱的切割：
a.横切：切面是圆，表面积增加 2 倍底面积，即 S 增=2π
b.竖切（过直径）：切面是长方形（如果 h=2R，切面为正方形），该长方
形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即 S
增=4rh
5、圆柱的侧面展开图：
a 沿着高展开,展开图形是长方形，如果 h=2rR，展开图形为正方形。
b. 不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。
c.无论如何展开都得不到梯形
6、圆柱的相关计算公式：
a.底面积：S 底=π
b.底面周长：C=πd=2πr
c.侧面积：S 侧=2πrh
d．表面积：S=2S 底+S 侧 =2π +2πrh
e. 体积 :V=π h
考试常见题型：
①已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长
②已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积
③已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积
④已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积
⑤已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆
柱的相关计算公式进行计算。
2r
2r
2r
2r圆锥
1、圆柱的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥
也可以由扇形卷曲而得到。
2、圆锥的高是顶点与底面圆心之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高
3、圆柱的切割：
①横切：切面是圆
②竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆
锥的高，底是圆锥的底面直径，表面积增加两个等腰三角形的面积，即 S 增
=2Rh
4、圆锥的相关计算公式
a.底面积：S 底=π b.底面周长：C=πd=2πr
c 体积：V=1/3×π h
考试常见题型：
①已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长
②已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积
③已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据
圆柱的相关计算公式进行计算。
圆柱和圆锥的关系
1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的 3 倍。
2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的 3 倍。
2r
2r3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积（注意：是底面积而不是底面半
径）是圆柱的 3 倍。
4、圆柱与圆锥等底等高，体积相差 2/3×Sh。
题型总结
①直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积还是底面积以及体积。
半径变化导致底面周长，侧面积，底面积，体积的变化。
两个圆柱（或两个圆锥）半径，底面积，底面周长，侧面积，表面积，体
积之比。
② 圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题（正方体，长方体与
圆柱圆锥之间）
③ 横截面的问题
④ 浸水体积问题（水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛
水容积的底面积 乘以上升的高度）容积是圆柱或长方体，正方体。 等体积转
换问题：一圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问
题，注意不要乘以 1/3.
Ⅲ、图形的位置和变换
一、方向
二、位置
三、图形的变换：平移、旋转、对称、缩放
第六部分 统计与概率
一、统计
1、统计表
2、统计图：常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
（1）条形统计图的特点：从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。（2）折线统计图的特点：不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地
表示出数量增减变化的情况。
（3）扇形统计图的特点：表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的
关系。
3、统计量: 中位数、众数、平均数
名称 意义 计算方法
中位数 一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。 中间的一个数或中间两个数的和÷2
众数 一组数中出现次数最多的数。 出现次数最多的数
平均数 反映一组数的总体水平的数据。 平均数=总数÷份数
二、可能性
1、确定事件和不确定事件
2、可能性
3、游戏规则的公平性
第七部分 实践与综合应用
一、探索规律
1、算式中的规律
例如：1×1=1
11×11=121
111×111=12321 1111×1111=？
2、数列中的规律
（1）等差数列：规律蕴含在相邻两数的差中。
例如：100，95，90，85，80，…
(2)等比数列：规律蕴含在相邻两数的倍数中。
例如：1，2，4，8，16，32，…
(3)前后几项为一组，以组为单位蕴含一定规律。
例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
（4）数列中间隔的项之间存在一定规律
例如：12，15，17，30，22，45，27，60，…
（5）相邻两数的关系中隐含规律。
例如：18，20，24，30，38，48，60，…相邻两数依次相差 2，4，6，8，
10，12，…
(6)数列的各项分别是平方数或立方数。
例如：1，4，9，16，25，…
1，8，27，64，125，…
特别提示：在寻找规律时，要依据数列隐含规律的几种形式，从不同角度，
认真观察、对比、尝试、计算，从而找出其中蕴含的规律。
3、数图形中的规律
（1）数线段的一般公式:（n-1）+…+2+1=n(n+1）/2（n 为线段的终端点数）
（2）数角、三角形的个数
（3）数长方形的个数：长边上的线段数×宽边上的线段数=长方形的个数
（4）数正方形的个数：n×n+（n-1）×(n-1）+…+2×2+1×1
4、方阵中的规律(1)方阵问题每边数与四周数之间的数量关系：
四周数=（每边数-1）×4 每边数=四周数÷4+1
（2）实心方阵的数量关系：
总数=外层每边数×外层每边数
（3）空心方阵的数量关系：
总数=（外层每边数-层数）×层数÷4
5、周期中的规律
6、植树问题（间隔问题）
（1）两端不植树：棵树=段数-1（段数=全长÷间隔）
（2）两端都种树：棵树=段数+1
（3）在非封闭的线路上植树：棵树=段数
7、搭配问题（排列组合）
二、解应用题
1、平均数问题
总数量=平均数×总份数 总数量÷总份数=平均数 总数量÷平均数=总份数
2、行程问题
速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间（1）相遇问题
速度和×相遇时间=相遇路程
相遇路程÷相遇时间=速度和
相遇路程÷速度和=相遇时间
（2）追及问题
速度差×追及时间=追及路程
追及路程÷追及时间=速度差
追及路程÷速度差=追及时间
（3）过桥问题
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度
速度×过桥时间=桥、车长度之和
（4）流水行船问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度－水流速度
静水速度（船速)=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度－逆水速度）÷2
顺水路程=（船速+水速）×顺水时间
逆水路程=（船速－水速）×逆水时间
（5）其他
火车+人：
（1）火车+迎面行走的人，相当于相遇问题：S=（火车速度+人的速度）×迎面错过的时间
（2）火车+同向行走的人，相当于追及问题：S=（火车速度-人的速度）×追及时间
火车+车
（1）错车问题，相当于相遇问题：S=（快车速度+慢车速度）×错车时间
（2）超车问题：相当于追及问题：S=（快车速度-慢车速度）×错车时间
火车+车
（1）错车问题，相当于相遇问题：S=（快车速度+慢车速度）×错车时间
（2）超车问题：相当于追及问题：S=（快车速度-慢车速度）×错车时间
3、分数、百分数问题
（1）求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）
（2）求一个数比另一个数多（或少）几分之几（百分之几）
（3）求一个数的几分之几（百分之几）是多少
（4）已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数（5）生活中的百分数问题：包括出勤率、发芽率、利息、折扣等
4、工程问题：把工作总量（一项工程）用“1”表示，工作效率用“1/时间”表示。
工作效率×时间=工作总量
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
5、比和比例问题
（1）按比例分配问题
A、解答按比例分配问题的关键：仔细审题、认真分析、找准分配的总量和分配的比。
B、解答按比例分配问题的步骤：
a、求出按比例分配的总数量；
b、找出分配的比，并求出各个部分占总数量的几分之几；
c、用总数量乘部分量占总数量的几分之几，得到各个部分量。
（2）比例尺的问题
A、求比例尺：图上距离÷实际距离=比例尺
B、求实际距离：图上距离÷比例尺=实际距离
C、求图上距离：图上距离=实际距离×比例尺
6、鸡兔同笼问题
（一）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少(假设法)：
假设全是鸡：口诀：假“鸡”得“兔”（第一次算得的数）
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者假设全是兔：口诀：假“兔”得“鸡”（第一次算得的数）
（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。 例如，“有鸡、兔共 36 只，它们共有脚 100 只，鸡、兔各是多少只？”
解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；
36-22=14（只）…………………………兔。答：略
（二）已知总头数和鸡 、兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式
※仍属 假“鸡”得“兔”类型
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
※仍属假“兔”得“鸡”类型
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（
例如：鸡和兔总共 107 只，鸡比兔多 58 只脚，鸡和兔各几只？
(1)假设全是鸡:（2×107-58）÷（2+4）=26（只兔）；107-26=81（只鸡）
※↓因为鸡脚比兔脚多 58，所以应减去 58
(2)假设全是兔: （4×107+58）÷(2+4)=81（只鸡）； 107-81=26（只兔）
※↓因兔脚比鸡脚少 58，所以应加上 58
（三）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。
※仍属 假“鸡”得“兔”类型
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
※仍属假“兔”得“鸡”类型
或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
例如：鸡和兔总共 107 只，兔比鸡多 56 只脚，鸡和兔各几只？
（2×107+56）÷（2+4）=45（只兔）；107-45=62（只鸡）
※↓因为鸡脚比兔脚少 56，所以应加上 56在此处键入公式。
或（4 × 107 - 56） ÷ （2 + 4） = 62（只鸡）；107-62=45（只兔）
※↓因为兔脚比鸡脚多 56，所以应减去 56
说明：每增加（或减少）一只鸡（或兔），它们脚数的差就是（2+4）
（四）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可
用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡、兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡
兔脚数之差）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡、兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只
鸡、兔脚数之差）〕÷2=兔数。 例如，“有一些鸡和兔，共有脚 44 只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚 52 只。鸡
兔各是多少只？”
分析：由题意知，鸡比兔多
解 法一：（1）〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2
=（16+4） ÷ 2
=20÷2=10（只鸡）
（2）〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=（16-4）
=12÷2=6（只兔） （答略）
或：解：（52-44） ÷ （4 ― 2） = 4（只兔）→鸡比兔多 4 只
法二： 设鸡有 x 只，则兔有（x-4）只。 法三：解：设兔有 x 只，则鸡有（x+4）
只。
（x-4） × 4+2x=44 （x+4） × 2+4x=44
4x-16+2x=44 2x+8+4x=44
6x=60 6x=36
X=10 x=6
10-4=6(只兔) 6+4=10(只鸡)
（五）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1 只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣
分数）=不合格品数；
或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分
数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4 分，
每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除 15 分。某工人生产了 1000 只灯泡，共得 3525
分，问其中有多少个灯泡不合格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破
损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）
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