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“将军饮马”类题型大全
一．求线段和最值
1（一）两定一动型
例 1：
如图， AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为 M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P 是 EF 上
任意一点，则 PA＋PB 的最小值是______m．
分析：
这是最基本的将军饮马问题，A，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马
型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点 A 关于 EF 的对称点 A’，根据两
点之间，线段最短，连接 A’B，此时 A’P＋PB 即为 A’B，最短．而要求 A’B，
则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．
解答：
作点 A 关于 EF 的对称点 A’，过点 A’作 A’C⊥BN 的延长线于 C．易知 A’M＝
AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在 Rt△A’BC 中，A’B＝15m，即 PA＋PB
的最小值是 15m．
变式：
如图，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E，F，G 为各边中点，P 为线段 EF 上一
动点，则△BPG 周长的最小值为_________．分析：
考虑到 BG 为定值是 1，则△BPG 的周长最小转化为求 BP＋PG 的最小值，又是两
定一动的将军饮马型，考虑作点 G 关于 EF 的对称点，这里有些同学可能看不出
来到底是哪个点，我们不妨连接 AG，则 AG⊥BC，再连接 EG，根据“直角三角形
斜边中线等于斜边的一半”，可得 AE＝EG，则点 A 就是点 G 关于 EF 的对称
点．最后计算周长时，别忘了加上 BG 的长度．
解答：
连接 AG，易知 PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当 B，P，A 三点共线时，BP＋PG＝
BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG 周长最短为 3.
2
（二）一定两动型
例 2：
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，D 为 BC 中点，AD＝5，P 为 AD 上任意一点，E
为 AC 上任意一点，求 PC＋PE 的最小值．分析：
这里的点 C 是定点，P，E 是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC
是等腰三角形，AD 是 BC 中线，则 AD 垂直平分 BC，点 C 关于 AD 的对称点是点
B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当 B，P，E 三点共线时，BE 更短．但此时还不是最短，
根据“垂线段最短” 只有当 BE⊥AC 时，BE 最短．求 BE 时，用面积法即可．
解答：
作 BE⊥AC 交于点 E，交 AD 于点 P，易知 AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，
则 AD·BC＝BE·AC，
4×6＝BE·5，BE＝4.8
变式：
如图，BD 平分∠ABC，E，F 分别为线段 BC，BD 上的动点，AB＝8，△ABC 的周长
为 20，求 EF＋CF 的最小值________．
分析：
这里的点 C 是定点，F，E 是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定
点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点 C 的对称点 C’必然在 AB
上，但由于 BC 长度未知，BC’长度也未知，则 C’相对的也是不确定点，因此
我们这里可以尝试作动点 E 关于 BD 的对称点．
解答：如图，作点 E 关于 BD 的对称点 E’，连接 E’F，则 EF＋CF＝E’F＋CF，当
E’，F，C 三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点 C 作 CE’’⊥AB 于
E’’，当点 E’ 与点 E’’重合时，E’’C 最短，E’’C 为 AB 边上的高，
E’’C＝5.
（三）两定两动型
例 3：
如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点 E，F 分别是射线 OA，OB 上的动点，
求 CF＋EF＋DE 的最小值.
分析：
这里的点 C，点 D 是定点，F，E 是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧
可以用“定点定线作对称”来考虑．作点 C 关于 OB 的对称点，点 D 关于 OA 的
对称点．
解答：
作点 C 关于 OB 的对称点 C’，点 D 关于 OA 的对称点 D’，连接 C’D’． CF＋EF
＋DE＝ C’F＋ EF＋ D’E，当 C’，F， E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝
C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF
＋DE 最小值为 13．变式：
（原创题）如图，斯诺克比赛桌面 AB 宽 1.78m，白球 E 距 AD 边 0.22m，距 CD
边 1.4m，有一颗红球 F 紧贴 BC 边，且距离 CD 边 0.1m，若要使白球 E 经过边
AD，DC，两次反弹击中红球 F，求白球 E 运动路线的总长度．
分析：
本题中，点 E 和点 F 是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题
的经验作出，即分别作点 E 关于 AD 边的对称点 E’，作点 F 关于 CD 边的对称点
F’，即可画出白球 E 的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．
解答：
作点 E 关于 AD 边的对称点 E’，作点 F 关于 CD 边的对称点 F’，连接 E’F’，
交 AD 于点 G，交 CD 于点 H，则运动路线长为 EG＋GH＋HF 长度之和，即 E’F’
长，延长 E’E 交 BC 于 N，交 AD 于 M，易知 E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋
0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则 Rt△E’NF’中，E’F’＝
2.5m，即白球运动路线的总长度为 2.5m．小结：
以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两
定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两
点之间线段最短”“垂线段最短”的 2 条重要性质，将线段和转化为直角三角
形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．
当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点
对称．
（二）求角度
例 1:
P 为∠AOB 内一定点，M，N 分别为射线 OA，OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠MPN
＝80°．
（1）∠AOB＝_____°
（2）求证：OP 平分∠MPN
分析：
这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将 M，N 的位置找到，再来思考
∠AOB 的度数，显然作点 P 关于 OA 的对称点 P’，关于 OB 的对称点 P’’，连
接 P’P’’，其与 OA 交点即为 M，OB 交点即为 N，如下图，易知∠DPC 与∠AOB
互补，则求出∠DPC 的度数即可．
解答：
（1）法 1：
如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝
2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．
再分析：考虑到第二小问要证明 OP 平分∠MPN，我们就连接 OP，则要证∠5＝∠6，显然
很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接 OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝
∠8，问题迎刃而解．
解答：
（1）法 2：
易知 OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对
称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°
（2）
由 OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，
OP 平分∠MPN．
变式：
如图，在五边形 ABCDE 中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在 BC、DE 上分别
找一点 M、N，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为________．
分析：
这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作 A 点关于 BC、DE 的对称点 A′、
A″，连接 A′A″，与 BC、DE 的交点即为△AMN 周长最小时 M、N 的位置．
解答：
如图， ∵∠BAE＝136°，
∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°
由对称性知，
∠MAA′＝∠MA′A，
∠NAA″＝∠NA″A，
∠AMN＋∠ANM
＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°
思考题：
1.（2017·安顺）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 6，△ABE 是等边三角形，
点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最
小值为_______．
2.（2017·安徽改编）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3．P 为矩形 ABCD 内一
点，若矩形 ABCD 面积为△PAB 面积的 4 倍，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA+PB
的最小值为________．
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