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福建宁德市2018-2019高二下学期数学期中试题（理科有答案）
福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）Word版含答案
资料简介
2018-2019学年第二学期期中考试
高二数学（理科）试题答案
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
A
C
C
B
D
A
B
A
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．菱形对角线互相垂直 15． 16．2019
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A(-2,0),B(a,2)．且|z1-z2|=2
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若z=1，求z-z1的最大值.
解：（Ⅰ）由复数的几何意义可知： 1分
4分
. 5分
（Ⅱ）法一：设 6分
由得， 7分
故复数对应的点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆 8分
表示圆上的点到A的距离 9分
的最大值为3 10分
法二：设 6分
由得 7分
， 9分
的最大值为3 10分
18． (本小题满分12分)
观察以下个等式
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；
；
；
（Ⅰ）照以上式子规律，写出，的等式，并猜想第个等式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立.
解：（Ⅰ）当时， 1分
当时， 2分
故对任意, 4分
（Ⅱ）证明：①当时，左边= ，右边=
左边=右边，所以等式成立。 5分
②假设当时等式成立，即有
， 6分
10分
所以，当时，等式也成立 11分
由①②知，对一切等式都成立。 12分
19．(本小题满分12分)
宁德市某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）（）.
（Ⅰ）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）
（Ⅱ）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.
解：（Ⅰ）设投入广告费（百万元）后由此增加的收益为（百万元），
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则，. 2分
所以当时，， 3分
即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大. 4分
（Ⅱ）设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的费用为（百万元），
则由此两项所增加的收益为
. 6分
对求导，得， 7分
令，得或（舍去）. 8分
当时，，即在上单调递增； 9分
当时，，即在上单调递减， 10分
∴当时，. 11分
故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，
这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元. 12分
20．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是棱上的中点
（Ⅰ）当是棱上的中点时，证明：//平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所
成锐二面角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
解： （Ⅰ）取中点，连结，则//且. 1分
因为当为中点时，∥且 ， 2分
所以∥且. 3分
所以四边形为平行四边形，∥， 4分
又因为，， 5分
所以； 6分
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（Ⅱ）假设存在满足条件的点，设. 7分
以为原点，向量方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，平面的法向量， 9分
平面的法向量，
， 11分
解得，所以存在满足条件的点，此时. 12分
21．(本小题满分12分)
已知椭圆的一个焦点为，离心率，定直线，椭圆的左、右顶点分别为、．过点的直线交于、两点，直线、与直线分别相交、两点．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）以为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）焦点为，离心率
， 2分
， 3分
椭圆的方程为：。 4分
（Ⅱ）解法一：直线斜率为时，三点共线，不合题意。
直线斜率不为时，设直线
，， 5分
设，则 6分
由，得，点，
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同理，点， 8分
由对称性，若定点存在，则定点在轴上。设点在以为直径的圆上，
则， 9分
即，，， 11分
以为直径的圆恒过轴上两定点。 12分
解法二：由椭圆的对称性得定点在轴上，设定点，则，
过点的直线平行于轴时，三点共线，不合题意。
设直线，
，得，
解得， 6分
，得，
解得， 8分
， 9分
令得 10分
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11分
解得，定点或 12分
22．(本小题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：。
解：（Ⅰ），
，定义域
， 1分
，，解得，
-
0
+
0
-
减函数
增函数
减函数
当，即时
函数的单调增区间为，单调减区间为，； 2分
当，即时，在区间上恒成立，
函数的无单调增区间，单调减区间为； 3分
-
0
+
0
-
减函数
增函数
减函数
当，即时
函数的单调增区间为，单调减区间为，； 4分
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当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，；
当时，函数的无单调增区间，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，. 5分
（Ⅱ），，定义域 6分
令，
令，在区间上恒成立， 7分
在区间上为增函数， 8分
，在区间上有唯一零点，设零点，
，即， 10分
-
0
+
减函数
增函数
在区间上的最小值， 11分
，即成立。 12分
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