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2019届高三数学理科2月月考试卷（附答案湖北荆、荆、襄、宜四地七校联盟）
资料简介
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“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
2019届高三2月联考
数 学（理）试 题
命题学校：襄阳四中 命题人：梁中强 程孟良 审题人：龙泉中学数学组
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,则（ ）
A. B. C. D.
2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三
角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位
当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）
A. B. C. D.
4. 若数列是公比不为1的等比数列,且,则
（ ）
A. B. C. D.
5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元
素a,则函数y＝xa在（0,+∞）上是增函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的导函数为,
的解集为,若的极小值等于,则的值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知的展开式中常数项为,则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（ ）
A. B. C. D.
10.直线与双曲线C：的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若(a、bÎR,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，在正方体ABCD－A¢B¢C¢D¢中,平面a垂直于对角线AC¢,且平
面a截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则（ ）
A.S为定值,l不为定值 B.S不为定值,l为定值
C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值
12.设函数,. 若当时,不等式
恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二.填空题：本大题共4小题,每小题5分。
13.实数满足,则的最大值是 _____________.
14.现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是______________.
15.已知抛物线：的焦点为,准线与轴的交点为,是抛物线上的点,且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为,则实数的值为__________.
16.设数列的前项和为满足：，则______________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(本题满分12分)如图, 四点共圆,为钝角且,
,,
（1）求;
（2）设,,求的值.
18.(本题满分12分)已知分别为椭圆的左、右焦点.
（1）当时,若是椭圆上一点,且位于第一象限,,求点的坐标;
（2）当椭圆的焦距为2时,若直线与椭圆相交于两点,且,试求的面积.
19. (本题满分12分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,
平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=.
（1）求证：PB=PD;
（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,
则在线段BC上是否存在一点 H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,
若不存在,请说明理由.
20. (本题满分12分)
有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：
甲公司
乙公司
职位
A
B
C
D
职位
A
B
C
D
月薪/元
6000
7000
8000
9000
月薪/元
5000
7000
9000
11000
获得相应职位概率
0.4
0.3
0.2
0.1
获得相应职位概率
0.4
0.3
0.2
0.1
（1根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;
（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：
选择意愿
人员结构
40岁以上（含40岁）男性
40岁以上（含40岁）女性
40岁以下男性
40岁以下女性
选择甲公司
110
120
140
80
选择乙公司
150
90
200
110
若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？
0.050
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
附：
21.(本题满分12分)已知,设,且,记;
（1）设,其中,试求的单调区间;
（2）试判断弦的斜率与的大小关系,并证明;
（3）证明：当时,.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. (本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
（2）若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
23. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数=,=.
（1）当=2时,求不等式＜的解集;
（2）设,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
2019届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高三2月联考数学（理）参考答案
一、选择题
BCDCD CCCAB BD
12、，令，
则
而是R上的单调递增函数，又是奇函数，于是.故
此题是考察三次函数的对称中心.
二、填空题：
13.21 14.①、② 15. 16.
16、，，时，
故
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．解：（1），且角为钝角，.
在中，由余弦定理得，，
，解得或（舍），
. …………6分
（2）连接AC，则与互补，于是
在中由正弦定理…………12分
其它方法酌情给分.
18.解：（1）设，有于是…………6分
（2），椭圆方程为（7分）联立直线得（8分）
得满足（9分） （10分）
于是 …………12分
方法二：坐标计算
将两点坐标代入椭圆方程中有
此方法可以推广到斜率任意时均成立.
19.解：(1)证明：记AC∩BD=O，连结PO，
∵底面ABCD为正方形，∴OA=OC=OB=OD=2.
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
∵平面PAC∩底面ABCD=AC，POÌ平面PAC，
∴PO⊥底面ABCD.
∵BDÌ底面ABCD，∴PO⊥BD.
∴PB=PD. …………6分
(2)以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知OP=2.
可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),
可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.
设平面的法向量n=，
∵，，∴
令，可得n=.
记，可得，
，=0，可得，，解得.
可得，.
记，可得，
，若DQ⊥PH，则，
，解得.故.…………12分
另：取的中点，说明均在平面PBD与平面DMN的交线上.
20.解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，
则E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，
E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0. 1＝7000，
D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1
＝10002，
D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1
＝20002，
则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），…………4分
我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；
或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（只要言之有理即给2分）…………6分
（2）因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，
得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，…………7分
由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：
选择甲公司
选择乙公司
总计
男
250
350
600
女
200
200
400
总计
450
550
1000
计算K2＝＝≈6.734，
且K2＝6.734＞6.635，
对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，
由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．…………12分
21. 解：（1）（），
若，则，它为上的增函数，
若，则增区间为，减区间为…………3分
（2）
令，，，而.故在单调递增，故…………7分
（3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证
，转化为.
令，，，故也成立.………12分
22. 解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.
由，，可得直线的直角坐标方程为.
将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为
.……………5分
（2）设，.
点的极坐标化为直角坐标为.
则.
∴点到直线的距离.
当，即时，等号成立.
∴点到直线的距离的最大值为.……………10分
23.解：（1）当=时，不等式＜化为，
设函数=，=，令得
∴原不等式解集是. ……………5分
（2）当∈[，)时，=，不等式≤化为，
∴对∈[，)都成立，故，即≤，
∴的取值范围为（-1，]. ……………10分
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