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平面直角坐标系中的距离公式课下能力提升（有答案和解析）
资料简介
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课下能力提升(十九) 平面直角坐标系中的距离公式
一、选择题
1．已知 A(－1,1)，B(3，－5)，则线段 AB 的垂直平分线方程是( )
A．3x＋2y－2＝0 B．2x＋3y＋2＝0
C．3x－2y＋8＝0 D．2x－3y－8＝0
2．点 P(x，y)在直线 x＋y－4＝0 上，O 是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A. 5 B. 7
C. 6 D．2 2
3．已知直线 3x＋2y－3＝0 和 6x＋my＋1＝0 互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.2 13
13
C.5 13
26
D.7 13
26
4．已知点 A(0,2)，B(2,0)．若点 C 在函数 y＝x2 的图像上，则使得△ABC 的面积为 2
的点 C 的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
5．若两条平行直线 l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则与 l2 的距离等于 l1 与 l2
间距离的直线方程为( )
A．3x－2y＋22＝0 B．3x－2y－10＝0
C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋24＝0
二、填空题
6．经过点 P(2,1)且与点 Q(1，－2)的距离为 2的直线方程是________．
7．动点 P 在直线 x＋y－1＝0 上运动，Q(1,1)为定点，当|PQ|最小时，点 P 的坐标为
________．
8．两条平行线分别过点 P(－2，－2)，Q(1,3)，它们之间的距离为 d，如果这两条直线
各自绕点 P，Q 旋转并互相保持平行，则 d 的范围是________．
三、解答题
9．用坐标法证明：在△ABC 中，AO 为 BC 边上的中线，则|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．
10．求经过两直线 l1：x－3y－4＝0 与 l2：4x＋3y－6＝0 的交点，且和点 A(－3,1)的由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
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距离为 5 的直线 l 的方程．
答案
1．解析：选 D ∵kAB＝ －5－1
3－ －1
＝－3
2
，∴线段 AB 的垂直平分线的斜率为2
3
.又线段
AB 的中点坐标为(1，－2)，∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y＋2＝2
3
(x－1)，即 2x－3y－
8＝0.
2．解析：选 D |OP|的最小值就是原点到直线 x＋y－4＝0 的距离，d＝|0＋0－4|
2
＝2 2.
3．解析：选 D 直线 3x＋2y－3＝0 可化为 6x＋4y－6＝0，与 6x＋my＋1＝0 平行，所
以 m＝4，
由两平行线间的距离公式得 d＝|－6－1|
62＋42
＝7 13
26
.
4．解析：选 A 设点 C(t，t2)，直线 AB 的方程是 x＋y－2＝0，|AB|＝2 2，
由于△ABC 的面积为 2，则这个三角形 AB 边上的高 h 满足方程1
2
×2 2h＝2，即 h＝ 2，
由点到直线的距离公式得 2＝|t＋t2－2|
2
，
即|t2＋t－2|＝2，即 t2＋t－2＝2 或 t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有 2 个不相等的
实数根，故这样的点 C 有 4 个．
5．解析：选 A 设所求直线方程为 3x－2y＋C＝0，
则
解得 C＝－6(舍去)或 C＝22，
所以所求直线的方程为 3x－2y＋22＝0.
6．解析：设所求直线的斜率为 k，则 l 的方程为 y－1＝k(x－2)，
即 kx－y－2k＋1＝0.
∵点 Q 到直线 l 的距离为 2，
∴|k＋2－2k＋1|
k2＋1
＝ 2，
解得 k＝1 或 k＝－7.
∴直线方程为 x－y－1＝0 或 7x＋y－15＝0.
答案：x－y－1＝0 或 7x＋y－15＝0
7．解析：设 P(x,1－x)，由两点间距离公式得|PQ|＝ x－1 2＋x2＝ 2x2－2x＋1＝由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
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2
x－1
2 2＋1
2
，当 x＝1
2
时，|PQ|最小．
答案：
1
2
，1
2
8．
解析：由图可知，当这两条直线 l1，l2 与直线 PQ 垂直时，d 达到最大值，此时
d＝|PQ|
＝ －2－1 2＋ －2－3 2＝ 34，
∴0＜d≤ 34.
答案：(0， 34]
9．
证明：如图，以 O 为坐标原点，BC 边所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，
设 B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，
则|AB|2＝(b＋a)2＋(c－0)2＝(b＋a)2＋c2，
|AC|2＝(b－a)2＋(c－0)2＝(b－a)2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)．
又|AO|2＝b2＋c2，|BO|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．
10．解：由
x－3y－4＝0，
4x＋3y－6＝0，
解得
x＝2，
y＝－2
3
， 即直线 l 过点 B
2，－2
3 .
①当 l 与 x 轴垂直时，方程为 x＝2，
A(－3,1)到 l 的距离 d＝|－3－2|＝5，满足题意．
②当 l 与 x 轴不垂直时，设斜率为 k，
则 l 的方程为 y＋2
3
＝k(x－2)，即 kx－y－2k－2
3
＝0.由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
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由 A 到 l 的距离为 5，得
|－3k－1－2k－2
3|
k2＋ －1 2
＝5，解得 k＝4
3
，
∴l 的方程为 4
3
x－y－8
3
－2
3
＝0，即 4x－3y－10＝0，
综上，所求直线方程为 x＝2 或 4x－3y－10＝0.
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